Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Л0Лг = г.
Точки Лг мы будем называть рациональными точками прямой.
3. Иррациональные числа. Если читатель начнет отмечать на прямой все точки, соответствующие рациональным числам с знаменателями 1, 2, 3,..., то он без труда убедится в том, что прямую можно как угодно густо покрыть рациональными точками. Точнее это можно выразить следующим образом: на любом отрезке ВС прямой А можно найти сколь угодно большое число рациональных точек.
Допустим, например, что ВС целиком помещается в отрезке A1A^ Очевидно, что если мы выберем положительное целое число k так, что
k-BCyi,1) (1)
и разделим A1Aq, на k равных частей, то по крайней мере одна из точек деления должна попасть внутрь ВС и быть отличной от В и от С. Пусть это будет точка Р. Действительно, если бы такая точка P не существовала, то отрезок ВС целиком помещался бы в одной из k частей, на которые был разбит отрезок A1A91, что противоречит условию (1). Но точка Р, очевидно, соответствует некоторому рациональному числу с знаменателем k, и, следовательно, на отрезке ВС имеется по крайней мере одна рациональная точка Р, отличная от концов этого отрезка. Но такое же рассуждение показывает, что найдется рациональная точка Q и между В и Р, другая между В и Q и т. д. Таким образом, как мы и утверждали, на отрезке ВС можно найти сколько угодно рациональных точек. Это положение мы можем выразить и так: отрезок ВС содержит бесконечно много рациональных точек.
Смысл такой фразы, как ,бесконечно много", в предложениях типа „отрезок ВС содержит бесконечно много рациональных точек" нли „существует бесконечно много положительных целых чисел", будет подробнее рассмотрен в гл. IV. Утверждение, что ,существует бесконечно много поло-
1J Предположение, что это возможно, равносильно принятию так называемой аксиомы Архимеда.
12
Глава первая
жительных целых чисел" означает, что „если дано любое сколь угодно большое положительное целое число л, то можно найти более п положительных целых чисел". Это, очевидно, справедливо, каково бы ни было п, например, для л = 100 ООО, или л = 100 ООО ООО. Это утверждение означает в точности то же, что и следующее: „мы можем найти сколь угодно много положительных целых чисел".
Читатель без труда убедится в справедливости следующего утверждения, которое по существу эквивалентно тому, что было доказано в п. 2 настоящей главы: если даио любое рациональное число г и любое положительное целое число л, то можно найти рациональные числа по обе стороны от г, отличающиеся от г меньше, чем на 1/п. Это же предложение мы будем выражать и так: по обе стороны от г можно найти рациональные числа, отличающиеся сколь угодно мало от г. Аналогично, если даны любые рациональные числа г и s, мы можем вставить между ними цепочку рациональных чисел, в которой каждый члеи будет сколь угодно мало отличаться от члена, следующего за ним. Это означает, конечно, что разность между любыми двумя соседними членами этой цепочки будет меньше, чем 1/я, где п — любое заданное положительное целое число.
Эти соображения могут навести читателя на мысль о том, что можно получить достаточно правильное представление о структуре прямой линии, если считать ее составленной просто из рациональных точек, лежащих на ней. И несомненно, что если бы мы представили себе прямую линию составленной исключительно из рациональных точек, т. е. отбросили бы все ее другие точки (если они существуют), то получившийся образ обладал бы большинством тех свойств, которыми здравый смысл наделяет прямую линию. Этот образ был бы, грубо говоря, весьма похож на прямую линию.
Однако небольшое дополнительное рассмотрение показывает, что такая точка зрения приводит к серьезным затруднениям.
Рассмотрим этот вопрос с точки зрения обычного здравого смысла, и возьмем некоторые свойства прямой линии, которыми она должна обладать, если она отвечает нашему представлению о ней, полученному из элементарной геометрии.
Прямая линия должна быть составлена из точек, и любой ее отрезок должен быть составлен из всех точек, которые лежат между его концами. Каждому такому отрезку должно быть сопоставлено некоторое понятие, называемое его длиной, которое должно иметь характер величины, допускающей численное измерение относительно любой данной единичной длины, причем эти длины отрезков должны комбинироваться друг с другом по обычным правилам алгебры путем сложения или умножения. Далее, должно быть возможным построение отрезка, длина которого равна сумме или произведению любых двух данных длин. Если длина PQ вдоль некоторой прямой равна а и длина QR вдоль той же прямой равна Ь, то длина PR должна быть равна а-\-Ъ. Более того, если длины OP и OQ вдоль некоторой прямой равны соответственно 1 и а и длина OR вдоль некоторой другой прямой равна b и если мы определим длину OS по построению Эвклида (кн. VI, 12) как четвертую пропорциональную к OP, OQ, OR, то эта длина должна быть равна ab— алгебраической
Действительные переменные
13
четвертой пропорциональной к 1, а, Ъ. Вряд ли необходимо особо отметить, что таким образом определенные суммы и произведения должны подчиняться обычным ,законам алгебры", а именно:
