Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
В случае, когда а рационально, мы встречаемся с затруднением. В этом случае а принадлежит к (Л), и классы (—Л), (—а) не определяют действительного числа в смысле п. 8, так как —а принадлежит к нижнему классу, а не к верхнему. Мы должны поэтому изменить наше определение —а, обусловив, что если а рационально, то рациональное число — а должно быть отнесено к верхнему классу.
Примеры IV. 1. Доказать, что 0 = --0.
2. Доказать, что ? = о, ? < а, ? > а, если, соответственно, a = ?, a>?, et <?.
1J Т. е. содержится в (6), но не совпадает с (Ь).
24
Глава первая
3. Если а== [5 и ? = y> то Ct=y-
4. Если et =g; ? и ? < y; то et < y-
5. Доказать, что — ?<—а, если а < (3.
6. Доказать, что а > О, если а положительно, и что а < 0, если а отрицательно.
7. Доказать, что a ^ | а |.
.8. Доказать, что 1 < У 2 < У~Ъ < 2. [Все эти результаты являются прямыми следствиями наших определений.]
10. Алгебраические действия над действительными числами.
Мы переходим теперь к определению смысла элементарных алгебраических операций, таких как сложение, применительно к общим действительным числам.
(1) Сложение. Для определения суммы двух чисел аир мы рассматриваем следующие два класса: класс (с), содержащий все суммы с = а-\-Ь, и класс (С), содержащий все суммы С = А-\-В. Ясно, что во всех случаях с<^С.
Далее, не может существовать более одного рационального числа, не принадлежащего ни к (с), ни к (С). В самом деле, предположим, что существуют два таких числа г и s, причем r<^s. Тогда urns должны быть больше любого с и меньше любого С, а, следовательно, С — с не может быть меньше чем S — г. Но
С — с = (А~ а)+ (В — Ь),
и мы можем выбрать а, b, А, В так, что А — а и В — b будут сколь угодно м"алы. Это же явно противоречит нашему предположению.
Если каждое рациональное число принадлежит либо к (с), либо к (С), то классы (с) и (С) образуют сечение в области рациональных чисел, т. е. определяют некоторое действительное число Если существует одно рациональное число, которое не обладает этим свойством, то мы можем присоединить его к (С). Тогда мы получим сечение, т. е. действительное число у, которое, очевидно, должно быть рациональным, так как оно соответствует наименьшему числу в (С). И в том и в другом случае мы. называем суммою а и ?, и пишем:
Т = « + Р-
Если а и ? оба рациональны, оии являются наименьшими числами в верхних классах (А) и (В). В этом случае ясно, что a-|-fa является наименьшим числом в (С), так что наше определение согласуется с нашими прежними представлениями о сложении.
(2) Вычитание. Мы определяем а — ? соотношением
«—? = « + (—Р).
Таким образом, расширение понятия о вычитании не представляет новых трудностей.
Действительные переменные
25
Примеры V. 1. Доказать, что <* + (—а) = 0.
2. Доказать, что а -[г 0 = 0 + а = а-
3. Доказать, что а -f- ? = ? -|— tx. [Это следует сразу из того обстоятельства, что классы (а -\-Ь) и (Ь-\-а), или (A-^-B) и (В -4- А), совпадают, так как, например, a-\-b = b-\-a, когда а и b рациональны.]
4. Доказать, что а 4-(JS + ї) = (а + ?) 4-T-
5. Доказать, что а — а = 0.
6. Доказать, что а — ? =— (? — а).
7. Из определения вычитания и примеров 4, 1 и 2 этого пункта следует, что
(a_?)+?={a + (-?)}+? = a + {(-?) + ?} = a + 0 = a.
Поэтому мы можем определить разность а—? = y равенством y + ? = a.
8. Доказать, что et — (? — y)—а— ? + y-
9. Дать определение вычитания, не зависящее от определения сложения. [Следует определить y —а — ?> исходя из классов (с) и (С), для которых с = а — В, C = A — Ь. Нетрудно видеть, что это определение эквивалентно тому, которое было дано в тексте.]
10. Доказать, что
1|«|-|р||й?1«±Р1«?|«1+1Р|.
11. Алгебраические операции над действительными числами (продолжение). (3) Умножение. Переходя к умножению, удобнее всего начать с положительных чисел и временно вернуться к сечениям в области положительных рациональных чисел, которые мы рассматривали в пп. 4—7. Тогда мы можем поступать аналогично тому, как мы это делали в случае сложения, беря в качестве (с) класс (ab) и в качестве (С) — класс (AB). Рассуждения остаются теми же, за исключением доказательства того, что все рациональные числа, кроме, быть может, одного, принадлежат либо к (с), либо к (С). Это зависит, как и в случае сложения, от того, можем ли мы выбрать a, b, А и В так, чтобы С — с было сколь угодно малым. Здесь мы применяем тождество:
С — с = AB — ab = (А — а) В -\-а(В — Ь).
Отрицательные числа могут быть включены в наше определение, если принять, что для положительных аир
(— a)? = — ар, а(—р) = —ар, (—<х)(— р) = ар.
Наконец, мы полагаем (0)а = а (0) = 0 для всех а.
(4) Деление. Для того чтобы определить деление, мы начнем
с определения обратной величины ~ числа а (отличного от нуля).
Ограничиваясь сначала положительными числами и сечениями в области положительных рациональных чисел, мы определяем обратную величину положительного числа а с помощью нижнего класса (-г) и верх-
