Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
a + i = i-f ?. ? + (*-fc) = (a + *) + c> аЪ — Ъа, a (bc) —(ab) с, а (Ь -)- с) = ab -j- ас.
Длины наших линий должны также подчиняться целому ряду очевидных законов, относящихся не только к равенствам, но и к неравенствам. Так, например, если А, В, С—три точки, лежащие вдоль Л слева направо, то должно выполняться неравенство AB <^ AC и т. д. Кроме того должно быть возможным определение на нашей основной прямой Л такой точки Р, что A0P равно любому данному отрезку, взятому вдоль Л или вдоль любой другой прямой линии. Все эти свойства прямой линии и многие другие содержатся в предпосылках нашей элементарной геометрии.
/11В i. 2 M Г M
Фиг. 2
Очень легко показать, что представление о прямой линии как состоящей из ряда точек, каждая из которых соответствует рациональному числу, никак не может удовлетворить всем этим требованиям. Существует, например, много элементарных геометрических построений длины х такой, что Xі = 2. Так мы можем построить равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, в котором AB = = AC=I. Тогда, если ВС = х, то х* = 2. Или мы можем определить длину X с помощью построения Эвклида (кн. VI, 13) средней пропорциональной к 1 и 2, как показано на фиг. 2. Из наших требований следует, таким образом, существование длины, измеряемой числом х, и точки P на А, таких, что
A9P = X, х* = 2.
Но легко видеть, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Можно даже утверждать, что не существует
рациональн ого числа, квадрат которого равен , где — — любая
14
Глава первая
положительная несократимая дрооь, если только те и л не являются оба квадратами целых чисел. Допустим, что
р*_ т
<7* п '
где р не имеет общего делителя с q, а т не имеет общего делителя с п. Тогда пръ = mq3'. Каждый делитель q* должен быть делителем лр9, а так как р и q не имеют общего делителя, то каждый делитель #9 должен быть делителем л. Следовательно я = X^2, где X— целое число. Но отсюда следует, что /и = Xp2, а так как от и л не имеют общего делителя, X должно быть равно единице. Таким образом от=р2, n = qi, что и требовалось доказать. Беря, в частности, п = 1, мы видим, что целое число не может быть квадратом рационального числа, если это рациональное число само не является целым.
Итак, оказывается, что из наших требований следует существование числа X и точки Р, не являющейся ни одной из уже построенных рациональных точек таких, что A0P=X, лг2 = 2, и мы пишем (как читатель знает из элементарной алгебры) х = j/^2.
Представляет интерес следующее, отличное от предыдущего, доказательство того, что квадрат рационального числа не может быть равен 2.
Допустим, что — —положительная несократимая дробь, для которой ' —) = 2, т. е. p2 = 2q2. Нетрудно видеть, что отсюда следует соотношение
(2q—р)* = 2(р— qY, откуда видно, что ^_P- также является дробью,
квадрат которой равен 2. Но из очевидного соотношения q<.p<.2q следует, что 0<р — Ч <.0- Таким образом, должна существовать дробь,
равная P- и имеющая меньший знаменатель, что противоречит предположению несократимости дроби -Р .
Примеры II. 1. Показать, что не существует рационального числа, куб которого равен 2.
2. Показать, что, вообще, несократимая рациональная дробь — не может
Я
быть кубом рационального числа, если р и q не являются оба кубами целых чисел.
3. Следующее более общее предложение, принадлежащее Гауссу, содержит предыдущие как частные случаи: алгебраическое уравнение
хп +Pixn -1 + р,х" -2 + ...+р„ = О
с целочисленными коэффициентами не может иметь рациональных нецелых корней.
[Допустим, что уравнение имеет корень ~, где а и Ъ — взаимно простые целые числа и Ъ положительно. Подставляя в уравнение у вместо х
Действительные переменные
15
и умножая на Ъп найдем, что
— % =Р^п -1 +р*Р-4 + .¦.+PnP1-1,
т. е. что несократимая дробь равна целому числу. Таким образом, 6=1 и корень равен а. Ясно, что а должно быть делителем рп. Вообще, если а\Ь является корнем уравнения р„хп +piXn ~ 1 + • • • +Pn = °> то а является делителем рп, а b—делителем р„.]
4. Показать, что если рп~ 1 и ни одно из выражений
1 +Pi +Pa +Pi + ---, 1 —Pi +Ps —Pi + ¦••
не равно нулю, то уравнение не может иметь рациональных корней*).
5. Найти рациональные корни (или доказать, что таковых нет) уравнения
Xі —Ах* — 8л:2 + 13л: + 10 = 0.
[Корни могут быть только целочисленными. Следовательно, ± I, ±2, ±5, ±10 являются единственно возможными значениями корней. Находятся ли среди этих значений корни уравнения, или нет, может быть установлено пробами.]
4. Иррациональные числа (продолжение). В результате нашего геометрического представления рациональных чисел выяснилась целесообразность расширения нашего понятия о „числе" путем введения чисел нового рода.
К такому же выводу мы могли бы придти и без применения геометрической терминологии. Одной из центральных проблем алгебры является решение таких уравнений, как
Xі =1, х* = 2.
Первое из них имеет два рациональных корня: 1 и —1.Ho если наше понятие о числе будет ограничено рациональными числами, то мы можем только сказать, что второе уравнение не имеет корней, и то же самое будет иметь место для таких уравнений, как ха = 2, Xі = 1. Этих фактов уже достаточно для того, чтобы признать целесообразность некоторого обобщения нашего понятия о числе, если такое обобщение окажется возможным. Рассмотрим подробнее уравнение д:9 = 2.
