Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 7

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 191 >> Следующая


Сечение, рассмотренное в п. 4, является примером случая (3). Пример случая (1) мы получим, если в качестве P возьмем „дг2 sg: 1", а в качестве Q — „дг2 > 1в этом случае 1—1. Если Р: „лг2<1", a Q: ,х%~^\", то мы получаем пример случая (2), причем г= 1. Следует заметить, что взяв за P

2*

20

Глава первая

свойство „х2<1", а за Q — свойство „лг2>1", мы вообще не получаем сечения, так как рациональное число 1 выпадает нз классификации (ср. примеры III. 5).

7. Иррациональные числа (продолжение). В первых двух случаях мы будем говорить, что сечение соответствует положительному рациональному числу а, которое равно / в первом случае и г—во втором. Очевидно, что и, обратно, каждому такому числу а соответствует сечение, которое мы будем обозначать через а1). Ибо в качестве P и Q мы можем взять свойства, выражаемые, соответственно, условиями

X =?: а, х^>а,

или х<^а и х^ а. В первом случае а будет наибольшим числом в L, во втором — наименьшим в R. Только эти два сечения и соответствуют любому положительному числу а. Во избежание неоднозначности условимся брать всегда одно из этих двух сечений, например, то, при котором само число принадлежит к верхнему классу. Другими словами, условимся рассматривать только такие сечения, при которых нижний класс L не содержит наибольшего числа.

Имея такое соответствие между положительными рациональными числами, с одной стороны, и сечениями, определенными ими, с другой, с точки зрения математических рассмотрений представляется совершенно законным заменить эти числа соответствующими им сечениями и рассматривать символы, содержащиеся в наших формулах, как обозначающие сечения, а не числа. Так, например, а^>а' будет означать то же самое, что а^>а', если а и а' — сечения, соответствующие а и а'.

Но после того, как мы заменили сами рациональные числа сечениями в области рациональных чисел, мы оказываемся почти вынужденными к обобщению нашей системы чисел. Ибо существуют ведь сечения (как, например, рассмотренное в п. 4), которые не соответствуют никакому рациональному числу. Совокупность сечений в области рациональных чисел является более широкой, чем совокупность положительных рациональных чисел: она содержит сечения, соответствующие всем таким числам, и кроме них еще другие сечения. Это обстоятельство и лежит в основе нашего обобщения понятия о числе. Таким образом, мы приходим к следующим определениям, которые будут, однако, несколько расширены в следующем пункте, и поэтому пока должны рассматриваться как предварительные.

Сечение в области положительных рациональных чисел, при котором оба класса существуют и нижний класс не содержит

M Мы будем в дальнейшем обозначать рациональные числа латинскими буквами, а соответствующие нм сечення — соответствующими греческими буквами.

Действительные переменные

21

наибольшего числа,, называется положительным действительным числом.

Положительное действительное число, которое не соответствует никакому положительному рациональному числу, называется положительным иррациональным числом.

8. Действительные числа. Мы ограничивались до сих пор рассмотрением сечений в области положительных рациональных чисел, которые мы условились называть „положительными действительными числами". Прежде чем перейти к формулировке наших окончательных определений, мы должны несколько изменить нашу точку зрения. Мы будем рассматривать сечения, или разбиения на два класса, не только положительных рациональных чисел, но и всех рациональных чисел, включая нуль, и можем повторить все рассуждения в пп. 6 и 7, относящиеся к сечениям в области положительных рациональных чисел, опуская лишь в соответствующих местах слово „положительные".

ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Сечение в области рациональных чисел, при котором оба класса существуют и нижний класс не содержит наибольшего числа, называется действительным числом, или просто числом.

Действительное число, которое не соответствует никакому рациональному числу, называется иррациональным числом.

Если действительное число соответствует некоторому рациональному числу, то мы будем употреблять термин „рациональное" применительно и к действительному числу.

Термин „рациональное число" получает в связи с нашими определениями двойной смысл. Он может обозначать рациональное число из п. 1 или соот-

ветствующее действительное число. Ьсли мы говорим, ЧТО -н- > -^- , то это

может быть понято либо как утверждение элементарной арифметики, либо как предложение, относящееся к сечениям в области рациональных чисел. Такого рода двусмысленности часто встречаются в математике и совершенно безопасны, так как связи между различными предложениями в точности совпадают, какая бы интерпретация ни была принята в отношении самих пред-

„1111 11

ложений. Из Y^lT и з Мы заключаем> чт0 Y^T' На эт0 заключе"

1

ние никоим образом не влияет сомнение в том, понимаются ли под t |- арифметические дроби или действительные числа. Иногда, конечно,

1

текст, в котором встречается, например, »-^"i не оставляет сомнения в том, какая интерпретация имеется в виду. Так, например, когда мы говорим
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed