Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
перпендикулярно к AB и CD = — перпендикулярно к ВС в направлении BA. На AD как на диаметре построим окружность, пересекающую ВС в X и Y. Тогда BX и BY являются корнями.
3. Если ас положительно, то PP' и QQ' имеют одно и то же направление. Проверить, что P1O' не пересечется с окружностью, если й2<ас, и будет касаться ее, если Ьг = ас. Проверить также, что если й2 = ас, то во втором построении окружность будет касаться ВС.
4. Доказать, что
14. Некоторые теоремы о квадратичных йррациональностях.
Две чистые квадратичные иррациональности будем называть подобными, если они являются рациональными кратными одной и той же иррациональности. Так,
/8 = 2/2, |/|=4/2,
и, следовательно, \[8 и — подобные иррациональности. С дру-
гой стороны, если M и N—положительные взаимно простые числа, причем ни одно из них не является квадратом целого числа, то / M и У N не являются подобными иррациональностями. Действительно, допустим, что
__/Я = і/|. VN^V1S-
1J На фигуре изображен случай, когда b и с имеют одинаковый, a а — противоположный знак. Рекомендуем читателю начертить фигуры для других случаев.
Действительные переменные
29
где все буквы обозначают целые числа. Тогда YMN, очевидно, является рациональным числом, и, следовательно (см. пример II. 3),_ целым. Таким образом, MN=P1*, где P—-целое число. Пусть а, Ъ, с, ... — простые делители числа Р, так что
где а, ?, 7, ... — положительные целые числа. Тогда MN делится на ага, откуда следует, что либо M делится на ага, либо N делится на а*а, либо M и N оба делятся на аа. Но эта последняя возможность должна быть отброшена, так как M и N, по предположению, взаимно простые числа. Это рассуждение применимо к каждому из множителей a1"1, b*?, c2f, ... , так что M должно делиться на некоторые из этих множителей, a JV — на остальные. Но тогда
M = Pl, N=Pl,
где Р\ означает произведение некоторых из множителей а2а, с2?, ... , a Р\—- произведение остальных. Следовательно, M и N оба являются квадратами целых чисел, что противоречит нашему предположению.
ТЕОРЕМА. Если А, В, С, D рациональны и
a~\-Yb=c~\- Yd,
то либо A = c и B=D, либо BuD являются каждое квадратом рационального числа.
Действительно, В — D рационально и
Y~B — Yd=c — А
также рационально. Если В не равно d (в противном случае также и А равно С), то мы найдем, что
/ в + Yd = (в - d)I(y в - yd)
также рационально. Следовательно, yf В и Y d рациональны.
СЛЕДСТВИЕ. Если А + _/~В =_С -f /D, тогда и A—YB = = С—Y d (если только YBu Y d не являются оба рациональными числами).
Примеры VIII. 1. Доказать, не применяя результатов предыдущего пункта, что |/*2 и |/*3 не являются подобными иррациональностями.
2. Доказать, что ]Аи и Y^la' гДе а рационально, — подобные иррациональности (если они вообще не рациональны).
3. Если а и Ь рациональны, то Y а ~1~ Y ^ не может быть рациональным без того, чтобы Yа Л V & были рациональными. То же справедливо и относительно Yа — У~ї>> если афЬ.
ЗО Глава первая
4. Если _____
Ya +Yb=V c + V d,
то либо A=C в B = D, либо A = D и B = C, либо }/~A~, VВ, V~C, VD все рациональны или являются подобными иррациональностями. {Возвести в квадрат данное соотношение и применить теорему предыдущего пункта.]
5. Ни (а + У bf, ни (а — Уbf не могут быть рациональными, если Уb иррационально.
6. Доказать, что если х = р + У q, где р н q рациональны, то хт, где т — любое целое число, может быть представлено в виде P + Qy q, где P и Q рациональны. Например,
(р+ V~9)*=p*+ 1+ip V~q, (р + V~qY=pz + zpq+Фр* + q) Vq-
Отсюда следует, что любой многочлен
00*» + ?*""-«+ ... +ап
с рациональными коэффициентами а0, ... , ап может быть представлен в таком же виде: P + QV q ¦
7. Если а-\~Уb, где b не есть точный квадрат, является корнем алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, то а — V b также будет корнем этого уравнения.
8. Представить -ї-р= в виде, указанном в примере 6. [Умножить
р+У q
числитель и знаменатель на р — Vq.]
9. Вывести из примеров 6 н 8, что любое выражение вида \, где
п (X)
G(x) и H(х) — многочлены от * с рациональными коэффициентами, может быть представлено в виде P+ QVq, где PnQ рациональны.
10. Если р, q и р2 — q положительны, мы можем представить VP + V q в форме Vx + Уу, где
*=\{р+ VT11Qh y = ^{p-VT=ti-
11. Найти условия, при которых Yp + V 4> где р и ^ рациональны, может быть представлено в виде У х + Vу, где х ,в у рациональны.
12. Если а2 — Ь положительно, то необходимым и достаточным условием для того, чтобы
Ya + V~b-\- /а — У b * было рационально, является рациональность чисел
У^Ги Y\{а + Уа^Ь}.
15. Континуум. Совокупность всех действительных чисел, рациональных и иррациональных, называется арифметическим континуумом.
Мы будем предполагать, что прямая линия Л, рассмотренная в п. 2, состоит из точек, соответствующих всем числам арифмети-
Действительные переменные 31
ческого континуума, и никаких других точек не содержит1). Точки прямой, совокупность которых можно назвать линейным континуумом, представляют тогда достаточно удобный образ арифметического континуума.
