Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
11. Ряды
v(_nr__\n у {(»+1)/Г
^ U + 1/ ' Д пл+І
сходятся при г<1 и расходятся при г^>1.
[При г=1 применить результаты п. 73 и п. 77 (7)]
12. Если 2мл ряд сходится, то сходятся и ряды
13. Если ряд 2"л сходится, то сходится и ряд
^ /г '
[Так как ^ "л + j2 > а Ряд S ^ сходится.]
14. Показать, что
и
1 + 2^- + 32+ 51 + 62 + 72 + 92 + •••= 16 (1 f 3a + [Для доказательства первого результата заметим, что
1 + і +зт + • • ¦ = (1 + і) + (з« + І
= 1 + 3? + у +----г-^(1 + 2^+Зт + '"
по теоремам (8), (6) и (4) из п. 77.]
15. Доказать приведением к противоречию, что — расходится.
[Если бы ряд был сходящимся, то с помощью рассуждения, аналогичного примененному в примере 14, мы нашли бы, что
»4 + -3-+-=(1+? +"J +-)+ 2 (1+ I +1S + -
сходится. Показать, что признак Коши применим к этому ряду, тогда как признак Даламбера неприменим. [Действительно,
346
Глава восьмая
или что 1I1.!1.. —14-1O-1J.
Т + Т + "б+-"+з"+5" + --"
а это содержит противоречие, так как каждый член первого ряда меньше соответствующего члена второго.]
176. Прежде чем перейти к дальнейшим исследованиям признаков сходимости и расходимости, мы докажем одну важную общую теорему о рядах с положительными членами.
Теорема Дирихле1)- Сумма ряда с положительными членами не зависит от порядка, в котором суммируются члены ряда.
Теорема утверждает, что если мы имеем сходящийся ряд с положительными членами, скажем и0 -(- K1 -|- и3 -j-..., и образуем любой другой ряд из тех же членов
«о + щ + v9 +...,
беря их в каком-либо другом порядке, то этот второй ряд будет также сходиться, и его сумма будет равна сумме первого ряда. Конечно, ни один член первого ряда не должен быть пропущен во втором: каждое к должно встречаться среди v, и наоборот.
Доказательство чрезвычайно просто. Пусть s будет сумма ряда и. Тогда сумма любого числа членов, произвольно выбранных из этого ряда, не будет превосходить s. Но каждое v является одним из и, и поэтому сумма любого числа членов ряда v не больше s. Следовательно, J^vn сходится и сумма t этого ряда не превосходит s. Но мы можем точно таким же образом показать, что s^t. Следовательно, s = t.
177. Умножение рядов с положительными членами. Следующая теорема является непосредственным следствием теоремы Дирихле: если U0 -\- U1 -f- и.} -f-... к XF0 -|— U1 -|— г»а -|- ... — два сходящихся ряда с положительными членами, причем s и t являются их сум~ мами, то ряд
Vo + (Vo + Vi) + (V0 + Vi + Va) 4----
также сходится и имеет сумму st.
Запишем все возможные произведения вида umvn в форме бесконечной таблицы
1J Теорема эта была, повидимому, впервые ясно сформулирована Дирихле в 1837 г. Несомненно, что она была известна и более ранним авторам, в частности, Коши.
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 347
U0V0
«1*0
I
U3X)0
в|*0
U0V1
U1V1 j
U3X)1
U3X)J
K3X)3
K3X)3
K0^3
b1V,
M2X)3
K3X)3
Из этих членов мы можем составить простые последовательности многими способами, и, в частности, следующими двумя.
(1) Начнем с единственного члена U0V0, для которого от + я = 0; затем возьмем два члена U1V0, K0X)1, для которых от+ я== 1; затем три члена K2X)0, K1X)1, U0X)3, для которых от + л = 2 и т. д. Тогда мы получим ряд
во*о + (ві*о + bo»i) + (k2*o + uivi + bo*s) + • ¦ • >
фигурирующий в теореме.
(2) Начнем с единственного числа U0V0, для которого оба индекса равны нулю; затем возьмем члены U1V0, U1V1, U0V1, для которых ни один индекс не превосходит 1, но по крайней мере один индекс равен 1; затем члены K3X)0, K3X)1, K3X)2, K1X)8, K0X)3, для которых ни один индекс не превосходит 2, но по крайней, мере один индекс равен 2 и т. д. Суммы этих групп членов равны соответственно
K0^0. (К0 + Kl) ("о + Vl) — aDVD' (M0- + K1 + U3) (X)0 + X)1 + X)3) — (K0 4- M1) (X)0 + X)1),
а сумма первых л —}- 1 групп равна
0»„ + O1 + ... +Kn)(X)0^X)1+... -{-Vn),
что стремится к sr при я->оо. Когда мы образовываем сумму ряда таким способом, то сумма первой, первых двух, трех, ... групп содержит все члены в первом, втором, третьем, ... прямоугольнике приведенной выше таблицы.
Сумма ряда, образованного вторым способом, равна st. Но пер* вый ряд (если отбросить скобки) является перестановкой второго и, по теореме Дирихле, он также сходится к сумме st. Теорема доказана.
Примеры LXlX. 1. Проверить, что если г<1, то
1 + г8 + г + г4 + г6 + /-34.----= 1 + г + г3 + г2 + г5 + г7 4,----= -^— .
2Если один из рядов «0 + U1-I----, V0-\- V1-\- ... расходится, то расходится и ряд
____U0V0 + (U1V0 + U0V1) + (U1V0 + U1V1 + U0V,) -\----,
') В примерах 2—4 имеются, конечно, в виду ряды с положительными членами.
348 Глава восьмая
за исключением того тривиального случая, когда каждый член другого ряда равен нулю.
3. Если ряды U0 + "і + • • • і V0 4- V1 4- ..., W0 4 W1 4 ... сходятся к суммам г, s, t, то ряд SXfc, где
>-fc = S «,лау
причем суммирование производится по всем системам значений т, п, р таким, что m-\-n-\-p = k, сходится к сумме rst.
