Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 132

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 191 >> Следующая


2. Ряд J^vn сходится, если vn/n^r, где r<[ 1, для всех достаточно больших значений п.

С другой стороны, мы имеем:

3. Ряд ^vn расходится, если v](n^\ для бесконечного числа значений п.

Это очевидно, так как из vn/n^l следует г>„^1.

175. Признаки, основанные на отношениях соседних членов ряда. Существуют весьма полезные признаки, основанные на отношении двух следующих друг за другом членов ряда. При рас-

vn

смотрении этих признаков мы должны предположить, что все Un и Vn строго положительны.

Допустим, что к„]>0, vn~^>0 и что

Vn ~~~ Un к 1

для всех достаточно больших п, например, для п^п0. Тогда

„, _Vn0 + 2 Vn ,, ±± Un0 + 2 Щ

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 343

Мы увидим, что признак Даламбера теоретически слабее признака Коши в том смысле, что признак Коши всегда применим, когда применим признак Даламбера, но что часто признак Даламбера неприменим, когда применим признак Коши (см. ниже пример LXVIII. 9). Признаки, основанные на отношениях, неприменимы к таким „неправильным" рядам, как, например, 04--^--1-0"!"-?"""!^-!--!- + ...-Тем не менее признак Даламбера оказывается практически очень полезным, так как когда Vn имеет сложный вид, ^5+-1 часто оказы-

вается простым выражением, рассмотрение которого не представляет никаких трудностей.

Часто случается, что ^5+-1 или vi/n стремится к пределу, когда Vn п

п-ь-со1). Если этот предел меньше 1, то очевидно, что условия теорем 2 и 6 выполнены. Таким образом, мы имеем:

7. Если vi/n или —1 стремится к пределу, меньшему единицы

Vn

при п -*-оо, то ^1Vn сходится.

Почти очевидно, что если одно из этих выражений стремится к пределу, большему единицы, то Jl1Vn расходится. Доказательство этого предложения мы оставляем в качестве упражнения читателю.

Но когда vn,n или стремится к 1, то эти признаки не дают

ответа на вопрос о сходимости ряда. Они неприменимы также и

в том случае, когда выражение vi/n или -*-1 колеблется таким об

п

разом, что будучи всегда меньше 1, оно принимает значения как угодно близкие к 1; признаки, основанные на отношении , неприменимы и тогда, когда это отношение колеблется так, что оно иногда принимает значения меньшие, а иногда значения большие 1. Когда V^" ведет себя таким образом, теорема 3 достаточна для доказательства расходимости ряда. Но уже ясно, что существует большое количество случаев, в которых необходимы более тонкие признаки.

Примеры LXVIII. 1. Применить признаки Коши и Даламбера (в вх специальном виде, сформулированном в теореме 7) к рядам ?nV, где ?— положительное целое число.

[Здесь

') Ниже мы покажем (см. гл. IX, пример LXXXVII. 36), что из исследует, что — — —*- /. Что обратное предложение может ие иметь мес

vn

видно из примера Vn = 1 для нечетных п и vn = 2 для четных п.

344 Глава восьмая

сходится при г<1 н расходится при r^l. Например, ряд

1 Ar г Ar г* Ar г" А.----

сходится при г<1 и расходится при г^=1.

8. Просуммировать ряд 1+2г+2г4 + ... с точностью до 24 знаков, если г = 0,1, и с точностью до 2 знаков, если г= 0,9.

[Если г = 0,1, то первые пять членов дают сумму

1,2002000020000002,

причем ошибка равна

2Г25 _|_ 2гм +... < 2r25 + 2r3e + 2r"+ ... = 12I'^! < 3 • 10~25-

Если г =0,9, то первые 8 членов дают сумму 5,458..., а ошибка не превосходит

1~17 < 0,003.]

и признак Даламбера показывает, что ряд сходится, если г<1, и расходится, если r> 1. Признак не дает ответа, если г=\; но в этом случае ряд, очевидно, является расходящимся. Так как п1/п—*-1 (см. пример XXVII. 11), признак Коши приводит к тому же результату.]

2. Рассмотреть ряд

2 (Ank + Bn^ 4-...+/Qr".

[Мы можем предположить, что А положительно. Если мы коэффициент при ґ1 обозначим через Р(п), то Р(п)~^Апк, и, по теореме D п. 173, этот ряд ведет себя как ^nkrn.]

3. Рассмотреть

З^ттй^Ф*'* И>о,а>0).

—' an14- $п1 1 А- ...А--а. '

[Этот ряд ведет себя, как JJn4-V. Случай, когда г=1, требует

особого рассмотрения.]

4. Мы видели (см. гл. IV, Разные примеры, 25), что ряды

у 1 у 1___

-'/1(/1+1)' ^«(«+I).. .(пАгР)

сходятся. Показать, что признаки Коши и Даламбера неприменимы к ним.

[Действительно, Hm ип/п = Hm = 1.]

5. Показать, что ряд

где р — целое число, не меньшее 2, сходится.

[Так как п (п Ar 1) ¦ • • (« + /> — 1) ~ пР, то это следует из рассмотрения рядов, исследованных в примере 4. В п. 77 (7) мы доказали, что ряд расходится, если р = 1, н он, очевидно, расходится при psgO.]

6. Показать, что ряд из примера 3 сходится, если г=1, / >&+1, и расходится, если r=l, /=g:& + l.

7. Если /к„ — положительное целое число и > тп, то ряд

в + й + а* + ?а + а3 + ,..

9. Если 0 < а < ? < 1, то ряд

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 345

V2n \ a i vs„+i \ b

10. Ряды

2 й 2

(Экз. 1935, 1936 гг.)

(Экз. 1927, 1928 гг.)

1 п\ ^n"

сходятся для всех г, а ряды

SnIr" и

сходятся ни для одного г, кроме г=0.
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed