Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
4. Если ряды Y1Un и 2>„ сходятся к суммам s и то ряд 2,Wn, где
Wn=I1U1Vn,
причем суммирование производится по всем парам значений /, т, для которых Im = п, сходится к сумме st.
178. Дальнейшие признаки сходимости и расходимости. Примеры, приведенные на стр. 343 — 6, показывают, что существуют простые и интересные типы рядов с положительными членами, к которым общие признаки пп. 174 — 5 неприменимы. Действительно,
если мы рассматриваем какой-либо простой ряд, для которого "п+-
стремится к пределу при я-*-оо, то признаки пп. 174 — 5 будут, вообще говоря, неприменимы, если этот предел равен 1. Так, в примере LXVIII. 5 эти признаки оказались неприменимы, и мы должны были прибегнуть к специальным приемам рассмотрения, которые по существу заключались в применении для сравнения вместо геометрической прогрессии ряда из примера LXVIH. 4.
Это объясняется, между прочим, тем, что геометрическая прогрессия, сравнением с которой были получены признаки пп. 174—5, не только сходится, но сходится очень быстро. Признаки, полученные сравнением с ней, являются поэтому, вполне естественно, весьма грубыми. Часто требуются более тонкие признаки.
В примере XXVII. 7 мы доказали, что n^rn —*-0 при п—*-оэ, если r< 1," каково бы ни было значение k. Более того, в примере LXVIII. 1 мы доказали, что ряд 1пЬгп сходится. Отсюда следует, что последовательность
Л г2, г3, ..., г", ...,
где г<1, убывает быстрее чем последовательность 1-ft, 2-*, З-*, ..., n-k, ....
Это кажется на первый взгляд парадоксальным, если г не на много меньше 1, a k велико. Так, из последовательностей
2 4 8 _J_ 1
~3> 9' 27' ••" ' 4096' 531 441 '"''
/ 2 \п
общие члены которых соответственно суть i g-J и /г-12, вторая кажется
на первый взгляд убывающей гораздо быстрее первой. Но если мы возьмем достаточно далекие члены этих последовательностей, то мы убедимся в том, что члены первой последовательности будут гораздо меньше членов второй. Например,
/ 2 \ 4 16 1 /2\12 /1\3 м\2 /2\1«ю /1\166 l3J ==8Т<5". (j] <Ы<(го)> Ы <lloJ '
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 3+9 гогда как 1 ООО-12 = 10 зв,
гак что тысячный член первой последовательности в 10ш раз меньше соответствующего члена второй последовательности. Таким образом, ряд
2 у
3 .
сходится гораздо быстрее, чем ряд
а этот ряд, в свою очередь, сходится гораздо быстрее, чем ряд
Существуют два признака, а именно интегральный признак Маклорена (или Коши) и признак сгущения Коши, которые оказываются особенно полезными тогда, когда признаки из пп. 174—5 неприменимы. В упомянутых признаках Маклорена и Коши делается еще одно дополнительное предположение относительно Un, а именно, что Un монотонно убывает с возрастанием п. В наиболее важных случаях это условие выполняется.
Но прежде чем мы перейдем к этим двум признакам, мы докажем одну простую, но важную теорему, которую мы будем называть теоремой Абеля*). Она дает необходимое условие сходимости ряда с монотонно убывающими положительными' членами.
179. Теорема Абеля (Прингсхейма). Если Ц«я — сходящийся ряд с убывающими а положительными членами, то Hm пи„ = 0. Действительно,
"л+1 + "n+s -f ...-»- 0,
и тем более
И/1+1 + "л+2 +----Г" U°-n °>
а эта сумма не меньше пщп. Следовательно,
2пи«п = 2 (nas„) —*• 0.
Кроме того,
(2л + 1) и2л+1 s? ^yti 2nuin 0,
и, следовательно, пип—*-0.
Примеры LXX. 1.-Применить теорему Абеля для доказательства расходимости рядов
^n' ^ап + 6
^Здесь пи„ —*• 1 или HUn J
1J Пять членов достаточны, чтобы получить сумму ряда 2л-12 с точностью до 7 знаков, тогда как в случае ряда ?/г~2 для такой же точности надо взять 10 000 000 члгнов. Большое количество числовых результатов этого типа читатель найдет в приложении (составленном Дж. Джексоном (J. Jackson) к монографии автора Orders of infinity (Gambridge math, tracts, No. 12).
2) Эта теорема была найдена Абелем, но затем забыта. Впоследствии она была вновь найдена Прингсхеймом.
350
Глава восьмая
2. Показать, что утверждение теоремы Абеля может не иметь места( если ие выполнено условие, что ип убывает с возрастанием п.
[Ряд Iiiiiiiii
1 * 1
в котором u = — , если п — точный квадрат, и Un = ^ в противном случае, сходится, так как с помощью перестановки его членов он может быть представлен в виде
L+I + I+ 1 +1+ 1 + *+...+ fi +1 + -1 + ...)
22 ^3S ^5S ^62 L2 ^8S Loa ^^ l + Г91 />
а каждый из этих рядов сходится. Но так как пип — I для каждого п, которое является точным квадратом, то утверждение теоремы не имеет места.]
3. Предложение, обратное теореме Абеля, неверно, т. е. из того, что un убывает с возрастанием п и HmZJun= 0, не следует, что ряд ? ип сходится.
[Возьмем ряд S ^~ н умножим его первый член на I, следующий иа -^1
1 1 V
следующие два на , следующие четыре на -г-, следующие восемь на -=-
О О
и т. д. Группируя в скобках члены этого нового ряда, получим: 1 1,1/1, M1Wl1I1 1,1
