Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
а' ,,' = а" и";а!г' = а"г" ;Ъ'ю'= а"го".
Точка (х, у, z) признается лежащей на этой прямой
[{„': v': те': г' , (u": v": w": r'%
если она общая для обеих плоскостей (u': v': w': г') и (u":v": w"\ г"). Две прямые, содержащие одни и те же точки, считаются не различными.
Применяя правила счета 1—11 § 13, которые по предположению должны иметь место для чисел из jj, мы без труда приходим к результату, что в построенной таким образом пространственной геометрии выполнены все аксиомы I и IV. (
Гильберт. Основания геометрии. 6
82
Глава V. Теорема Дезарга.
Чтобы удовлетворить и аксиомам порядка II, мы устанавливаем следующие условия. Пусть
(xi> Уи ^i). У2. z>), (х3, у3, Z3)
три точки прямой
[(if': v': ги': г'), (u": v": w": /')];
тогда пусть точка (х2, у->, Z2) признается лежащею между обеими другими точками, если удовлетворена по меньшей мере одна из шести пар неравенств
C^-) *^'3' "^i "^"3
(2) 2/1 < 2/2<і/з. Уі>У-і>Уя
(3) г, < 2T2 < 2g, > > Z3.
В случае, если выполнено хоть одно из двух двойных неравенств (1), легко заключить, что или у1 = У2 = Уз> или необходимо должно иметь место одно из двух двойных неравенств (2) и точно также, что или Z1= Z2 = Z3, или должно иметь место одно из двойных неравенств (3). В самом деле, из уравнений
и" ж,, + г" yt + w" Z1 + г" = 0 (г = 1, 2, 3),
с помощью левостороннего умножения их на подходящие числа из D, которые ф 0, и последующего сложения полученных уравнений, образуем систему уравнений вида
(4) и" X1 + v" у., + г" = 0
(i = l, 2, 3).
При этом коэффициент Vі" наверно не 0, ибо иначе следовало бы равенство трех чисел —ж,, х2, х3. Из
X1 ~ ; X2 - , X3
заключаем
§ 30. Значение теоремы Дезарга.
83
и поэтому, на осніЛании (4),
iti \ ttl iff I tu ^- tu I ///
v Уі+Г Шс pa + '- у3 + >-
и, следовательно,
і"'у і Ш v"'y-2 3§ *'"?/3.
и так как v" не 0, то имеем
УіШУіШУз'
в каждом из этих двойных неравенств всегда должен быть взят или сплошь верхний, или сплошь средний, или сплошь нижний знак.
Предыдущие соображения показывают, что в нашей геометрии имеют место линейные аксиомы порядка II і—3. Остается еще показать последнее, что в нашей геометрии имеет место и плоскостная аксиома II4.
Пусть с этой целью дана плоскость (н: г: w: >) и на ней прямая [(и: v: ¦W1 г), (u': v': ic': »¦')]. Мы полагаем, что все лежащие в плоскости (и: г: го: /¦) точки (х, »/, ¦s), для которых выражение и' X А- и' у ~\~ г -(- меньше или больше чем 0, лежат по одну или соответственно по другую сторону этой прямой, и должны при этом доказать, что это утверждение согласуется с сделанным прежде, что легко может быть исполнено.
Таким образом мы нашли, что все аксиомы I, II, IV выполнены в той пространственной геометрии, которая строится вышеуказанным способом из Дезарговой числовой системы D. Принимая во внимание, что теорема Дезарга есть следствие аксиом I, II, IV, мы видим, что только что найденный результат устанавливает положение, в точности обратное тому выводу, к которому мы пришли в § 28.
§ 30.
Значение теоремы Дезарга.
Если в некоторой плоской геометрии имеют место аксиомы І і—З» II, IV и сверх того теорема Дезарга, то, на основании § 24—§ 28, всегда возможно ввести в эту геометрию исчисление отрезков, для которого применимы правила 1—11, 13—16 §13. Мы рассматри-
84
Глава V. Теорема Дезарга.
ваем затем совокупность этих отрезков, как комплексную числовую систему, и строим из нее, на основании рассуждений § 29, пространственную геометрию, в которой выполняются все аксиомы I, II, IV.
Если мы будем рассматривать в этой пространственной геометрии исключительно точки (х, у, 0) и те прямые, на которых лежат только такие точки, то получается некоторая плоская геометрия, и если мы примем в соображение выведенную в § 27 теорему 36, то станет ясно, что эта плоская геометрия должна точно совпадать с предложенной в начале плоскою геометриею, т. е. обе геометрии имеют дело с теми же самыми, одинаковым образом сочетаемыми и располагаемыми в порядке, элементами. Мы получаем, таким образом, следующую теорему, которая может быть рассматриваема как конечная цель всех исследований настоящей главы:
Если в некоторой плоской геометрии имеют место аксиомы Zi_3, II, IV, то наличность теоремы Дезарга составляет необходимое и достаточное условие для того, чтобы эта плоская геометрия могла быть рассматриваема, как часть некоторой пространственной геометрии, в которой имеют место все аксиомы I, II, IV ъ).
Теорема Дезарга, некоторым образом, характеризуется для плоской геометрии, как результат исключения пространственных аксиом т).
Найденные результаты позволяют нам также выяснить, что всякую пространственную геометрию, в которой имеют место все аксиомы I, II, IV, можно рассматривать всегда, как часть некоторой „геометрии какого угодно числа измерений"; при этом под геометрией сколь угодно многих измерений необходимо понимать совокупность точек, прямых, плоскостей и еще новых элементов, для которых имеют место соответствующие расширенные аксиомы сочетания, аксиомы порядка, равно как и аксиома параллельности
