Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
¦ Из этих рассуждений вытекает, что область Q (R) содержит все те и только те вещественные числа и функции параметров р, которые образуются из чисел и параметров в H конечным числом приложений пяти операций счета: именно—четырех элементарных операций счета и некоторой пятой операции, за которую принимается извлечение квадратного корня из суммы двух квадратов. Мы формулируем этот результат следующим образом:
Теорема 42. Геометрическая задача на построение тогда и только тогда разрешила проведением прямых и откладыванием отрезков, т. е. с помощью линейки и эталона длины, если при аналитической трактовке задачи координаты искомых точек суть такие функции координат данных точек, для изображения которых требуются только рациональные операции и операция извлечения квадратного корня из суммы двух квадратов, при чем эти пять операций требуются в конечном числе.
Из этой теоремы можно тотчас усмотреть, что не всякая задача, разрешимая с помощью циркуля, может быть также решена с помощью одной только линейки и эталона длины.
С этой целью мы кладем в основу ту геометрию, которая в § 9 была построена с помощью алгебраической числовой Областий; в этой геометрии существуют исключительно только такие отрезки, которые могут быть построены с помощью линейки и эталона длины, именно отрезки, определяемые с помощью чисел области Q.
Если теперь ю есть какое-либо число области U, то из определения области Q легко усматривается, что и каждое сопряженное с (о алгебраическое число должно принадлежать к области Q1 итак как числа области ? очевидно суть все числа вещественные, то
Гильберт. Оснонанмя геометрии. 7
98 Глава VFI. Геометрические построения на основе аксиом I—IV.
отсюда следует, что область ? может заключать только такие вещественные алгебраические числа, сопряженные которых также веще- ч ственны.
Поставим теперь задачу—построить прямоугольный треугольник, с гипотенузой 1 и одним катетом V 2 — 1- В этом случае алгебраическое число |/ 2 ]/2 ! — 2, выражающее численное зна-чение второго катета, не принадлежит к числовой области U, так как сопряженное с ним число |/ — 2 \ 2 — 2 оказывается числом мнимым. Поставленная задача таким образом не разрешима в положенной в основу геометрии и не может быть поэтому вообще разрешима с помощью линейки и эталона длины, хотя с помощью циркуля построение выполнимо немедленно.
§ 38.
Представление алгебраических чисел и целых рациональных функций в виде суммы квадратов.
Вопрос о выполнимости геометрических построений с помощью линейки и эталона длины для своего дальнейшего исследования требует некоторых теорем, относящихся к области теории чисел и алгебры, которые, как мне кажется, и сами по себе представляют интерес.
Согласно Фермату, как известно, каждое целое рациональное положительное число может быть представлено в виде суммы четырех квадратов. Эта теорема Фермата допускает замечательное обобщение следующего вида:
Пояснение. Пусть /.¦ есть произвольное числовое тело (Zahl-knrper); пусть степень этого тела к есть т и пусть т — 1 числовых тел, сопряженных с k, обозначены V,k",....., к(т Если случится, что одно или больше из т тел к'.......к(т 1} составлены исключительно из вещественных чисел, то мы называем самые эти
тела вещественными; пусть эти телабудут, напр., к, к',____,k,s ~Ч
Некоторое число о тела к называется в этом случае вполне положительным в к, если s чисел, сопряженных с а и соответственно принадлежащих к к, к........к"~ все положительны. Если, напротив, в каждое из т тел к, к',...., к{'" 1) входят также и мнимые
§ 38. Представление алгебраических чисел.
99
числа, то каждое число а в /• называется всегда вполне положительным.
Теорема 43. Каждое вполне положительное в к число может быть представлено в виде суммы четырех квадратов, основания которых суть целые или- дробные числа тела к.
Доказательство этой теоремы представляет большие трудности; оно существенно основано на теории относительно - квадратных („relativquadratischen") числовых тел, которая была развита мною во многих работах *). Должно указать здесь только на ту теорему этой теории, которая дает условия разрешимости трехчленного Дио-фантова уравнения вида
где коэффициенты а, ?, у означают данные числа в к и ?, ? искомые числа в к. Теорема 43 доказывается повторным применением только что указанной теоремы.
Из теоремы 43 вытекает ряд теорем о представлении таких рациональных функций одной переменной с рациональными коэффициентами, которые никогда не имеют отрицательных значений.
Упомянем также следующую теорему, которая будет нам полезна в следующем параграфе.
Теорема 44. Пусть f (х) означает такую целую рациональную функцию от же рациональными числовыми коэффициентами, которая не принимает никогда отрицательных значений, если для ./• даются любые вещественные значения: тогда /' (.г) всегда может быть представлена в виде суммы квадратов так, что все основания этих квадратов суть целые рациональные функции от х с рациональными коэффициентами **¦).
