Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 37

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — Петроград-книгоиздательство Сеятель, 1923. — 152 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniya-geometrii.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 64 >> Следующая


9

Глава VI. Теорема Паскаля. § зі.

Две теоремы о доказуемости теоремы Паскаля.

Теорема Дезарга (теорема 34) может быть доказана, как уже замечено, на основании аксиом I, II, IV, т. е. с существенным применением пространственных аксиом, но без привлечения аксиом конгруэнтности; в § 23 я показал, что. ее доказательство невозможно без пространственных аксиом группы I и без аксиом конгруэнтности III даже, если будет допущено пользование аксиомами непрерывности.

В § 14 теорема Паскаля (теорема 22) и вместе с тем по § 22 и теорема Дезарга выведены из аксиом І і—3, II—IV, т. е. при исключении пространственных аксиом и при существенном пользовании аксиомами конгруэнтности. Является вопрос, может ли • и теорема Паскаля быть доказана без привлечения аксиом конгруэнтности. Наше исследование покажет, что в этом отношении теорема Паскаля существенно отличается от теоремы Дезарга, так как при доказательстве теоремы Паскаля решающее значение для ее наличности имеет допущение или исключение аксиомы Архимеда. Существенные результаты нашего исследования объединяем мы в двух следующих теоремах:

Теорема 37. Теорема Паскаля (теорема 22) доказуема па основе аксиом I, II, III, IV, V, т. <•. при исключении аксиом конгруэнтности с привлечением на помощь аксиомы Архимеда.

86

Глава VI. Теорема Паскаля.

Теорема 38. Теорема Паскаля (теорема 22) не доказуема на основе аксиом I, II, /V, т. с. при исключении аксиом конгруэнтности, равно как и аксиомы Архимеда.

В формулировке этих обеих теорем пространственные аксиомы I 4—8 могут быть также, на основании общей теоремы 36, заменены требованием, чтобы в плоской геометрии имела место теорема Дезарга (теорема 34).

§ 32.

Коммутативный закон умножения в архимедовой числовой

системе.

Доказательства теорем 37 и 38 существенно основываются на некоторых взаимных соотношениях, которые существуют между правилами счета и основными положениями арифметики, знакомство с которыми представляет интерес и само по себе.

Мы устанавливаем следующие две теоремы:

Теорема 39. Для любой архимедовой "числовой системы коммутативный закон умножения есть необходимое следствие, прочих правил счета; т. е. из того, что некоторая числовая система обладает перечисленными в § 13 свойствами 1—11, 13—17, следует необходимо, что она удовлетворяет и формуле 12.

Доказательство. Прежде всего заметим, если а есть произвольное число числовой системы и

« = 1+1+...+ 1

есть целое положительное рациональное число, то для а и п всегда имеет место коммутативный закон умножения; действительно

ап = я(1 + 1+ ... + 1) = «.1 + я.1+... + я.1 =

= а + а +... + а

и также

па=(1 + 1+ ... + 1)я=1.я + 1.« + ... + 1.я = = а + а + ... + я.

§ 32 Коммутативный закон умножения.

87

Пусть теперь, вопреки нашему утверждению, а и Ь такие два числа числовой системы, для которых не имеет места коммутативный закон умножения. Мы имеем право тогда, как легко видеть, сделать предположения:

а > О, Ь > 0, uh — ha > 0.

На основании требования 5 § 13 существует число с (> 0) такое, что

(иА-Ь А- 1)с=ab — Ьа.

Наконец, выбираем число (1, удовлетворяющее зараз неравенствам

d>0, d<\, (1<с,

и обозначаем буквами т и п два таких целых рациональных числа ^ 0, для которых

md < а Si (ш А- 1) а

и соответственно

¦ш/ <Ь Si О 4-1) rf.

Существование таких чисел ш, и есть непосредственное следствие предложения Архимеда (предложение 17 в § 13). На основании замечания, сделанного в начале доказательства, мы получаем из последних неравенств, перемножая их,

ab _ тшР -\-(т-\-пА-1) сТ1 ba > mnd-,

следовательно, вычитая

ab — ba ^ (m —J- и —|— 1) d'1.

Но

md < a, ml < b, d<^\

и, следовательно,

(т + п А- 1) d < a Arb А- 1,

то есть

ab — ba< (a A-b Ar I) d или, на основании того, что d < с,

ab —ba< (a 4,-b Ar 1)с.

Это неравенство противоречит определению числа с и этим теорема 39 доказана.

88

Глава VI. Теорема Паскаля.

§ зз.

Коммутативный закон умножения в не-архимедовой числовой системе.

Теорема 40. Для не-архимедовой числовой системы коммутативный закон умножения не есть необходимое следствие прочих правил счета; т. е. существует некоторая числовая система, которая, имеет перечисленные в § 18 свойства 1—11, 13—16,—Дезаргова числовая система согласно § :І8—в которой не имеет места коммутативный закон (12) умножения.

Доказательство. Пусть t есть некоторый параметр, a T некоторое выражение с конечным или бесконечно большим числом членов вида

T= г0 + + ! + r21"+2 +1-8 Vl+3 + ...;

в нем г0 (фО), »',, г2 ... могут означать любые рациональные числа, и п пусть будет любым целым числом § 0. Пусть далее s другой параметр и ? некоторое выражение с конечным или бесконечно большим числом членов вида

a = S"' T0 -f- а-™+1 T1 -f S'» + 2 Т, 4-...;

в нем T0 (ф 0), T1, T2... могут означать произвольные выражения вида Т, и m пусть будет снова произвольным целым числом Sg 0. Совокупность всех выражений вида S рассматриваем, как комплексную числовую систему ІІ (<, t), в которой мы устанавливаем следующие правила счета: вычислять с ,« и t, как с параметрами, должно по правилам 7—11 § 13, но вместо правила 12 должно применять всегда формулу
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed