Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
с = а А- Ь или а -(- Ь = с.
Чтобы определить произведение отрезка a = OA на отрезок Ii —ОН, мы будем строго придерживаться данного в § 15 построения с тою только разницею, что на место сторон прямого угла здесь станут обе фиксированные прямые OE и OE'. Построение
70
Глава V. Теорема Дезарга.
§ 25.
Коммутативный и ассоциативный закон сложения в новом исчислении отрезков.
Мы исследуем теперь, какие из выставленных в § 13 законов счета имеют место для нашего нового исчисления отрезков, если мы положим в основу некоторую плоскую геометрию, в которой выполнены аксиомы І і—3, II—IV, и сверх того имеет место теорема Дезарга.
Прежде всего докажем, что для определенного в § 24 сложения отрезков имеет место к о M-мутативный закон
а —|— ft = й —(— а. Пусть (черт. 44)
а=0А=0Л', b = 0B=0fr,
при чем по нашему' определению AA' и BB' параллельны единичной прямой. Строим теперь точки .1" и В", проведя А'А", также, как В'В", параллельно OA и потом AB" и BA" параллельно OA'; наше утверждение, как немедленно усматривается, выражает, что соединяющая прямая А"В" проходит параллельно AA'. Правильность этого утверждения устанавливаем на основе теоремы Дезарга (теорема 34) следующим образом: обозначаем точку пересечения AB" и А'А" буквою F, а точку пересечения BA" и В'В" буквою D; тогда в треугольниках A A'F и BB'I) соответствующие стороны взаимно параллельны. С помощью теоремы Дезарга отсюда заключаем, что три точки О, F, D лежат на одной прямой. Оба треугольника OAA' и DB"А" расположены, следовательно, так, что прямые, соединяющие соответствующие вершины, проходят через: одну и ту же точку F, и так как, сверх того, две пары соответствующих сторон OA и DB", равно как OA' и DA", взаимно параллельны, то на основании второй формулировки теоремы Дезарга (теорема 34), и третьи стороны AA' и В"А" взаимно параллельны.
а 4- Ъ = Ъ 4- а
Черт. 41.
§ 26. Ассоциативный закон умножения.
71
Для доказательства ассоциативного закона сложения а + {Ь + с) = (а-\-1,) + с служит прилагаемый чертеж (черт. 45J.
В связи с только что доказанным законом коммутативности сложения высказанное утверждение сводится, как легко усмотреть,
О «г с а+Ь Ь*е
Черт. 45.
к тому, что прямая А" В" должна итти параллельно единичной прямой. Правильность этого утверждения очевидна, так как заштрихованная часть этого чертежа в точности совпадает с предыдущим чертежом.
§ 26.
Ассоциативный закон умножения и оба дистрибутивных закона в новом исчислении отрезков.
При наших допущениях и для умножения отрезков имеет место ассоциативный закон
a (be) — (ab) г.
Пусть (черт. 46) на первой из обеих фиксированных прямых, проходящих через О, даны отрезки
I = OA, Ъ=ОС, C=OA'
и на второй прямой отрезки
a = OG и Ь=ОП.
\
О АСА' С
' b с ЬС
Черт. 46.
лельна CD'. Если мы обозначим теперь точку пересечения прямых AD и ?C буквою Fu точку пересечения прямых A'D' и В'С буквою F', то соответствующие стороны в треугольниках ABF и ABF будут параллельны; по теореме Дезарга три точки 0,F,F' лежат следовательно на одной прямой. Вследствие этого мы можем распространить вторую формулировку теоремы Дезарга на оба треугольника CDF и СD'F' и убеждаемся тогда, что действительно CD параллельна CD'.
Наконец, на основе теоремы Дезарга мы доказываем для нашего исчисления отрезков и оба дистрибутивные закона:
u(b -\-с) = ab -(- ас
и
(а -)- Ь) с = ас -)- be.
чтобы построить на основании правила § 24 последовательно отрезки
hc= OB' и be = ОС, af, = OD (ab) с= OD,
проводим Л И параллельно AB, В'С параллельно ВС, CD параллельно AC и A1D' параллельно AD; как сразу видно, наше утверждение сводится к тому, что и CD должна быть парал-
72 Глава V. Теорема Дезарга.
§ 26. Ассоциативный закон умножения.
73
Для доказательства первого закона служит черт. 47 *). На
нем
Ь=ОА', C = OC аЪ = ШГ, ah= OA", ас= ОС" и т. д.,
и проходит
В" I)0 параллельно, CD1 параллельно фиксированной прямой OA'. ВЧ)] „ CD., „ . „ OA";
О A В' С F'
Ь ab f b*c
Черт. 47.
далее
А'А" параллельна ("С"
и
А'В" параллельна В'А", параллельна F'D.,, параллельна F" I)1. Наше утверждение сводится к тому, что тогда должна быть и F'F" параллельна А'А" и CC". Мы строим следующие вспомогательные прямые:
F"J параллельно фиксированной прямой OA', FJ к „ „ OA'';
точки пересечения прямых CD1 и CD.,, CD1 и FJ и С D2 и F"J называем (1, H1, H2; наконец, мы получаем еще дальнейшие, обозначенные на чертеже пунктиром, вспомогательные линии соединением уже построенных точек.
*) Чертежи 46, 47 и 48 составил и соответствующие доказательства дал Dr. von Sch ар er.
74
Глава V. Теорема Дезарга.
В обоих треугольниках Л Л"С" и F' D2G прямые, соединяющие соответствующие вершины, параллельны друг другу; из второй формулировки теоремы Дезарга следует поэтому, что должна быть
.1С" параллельна FG.
В обоих треугольниках AG"F" и F (гH2 прямые, соединяющие соответствующие вершины, также параллельны; из второй формулировки теоремы Дезарга, согласно ранее найденному, следует, что должна быть
