Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда следует, что при решении аналогичных вопросов для пространства следовало бы привлечь другие вспомогательные средства, напр., принцип Кавальєриs**) s***) 4).
*) См. мой доклад .Mathematische Probleme" Nr. 3.
**) „Uber raumgleiche Polyeder", Gottinger Nachr., 1900, также „Uber den Rauminhalt" (Math. Ann. Bd. 55, 1902). См. кроме того—Каган, Math. Ann. Bd. 57.
***) Только первая часть теоремы 32, равно как и теорема 30 н теорема 32 справедливы н для пространства; см. напр., Шатуновскнй, .Uber den Rauminhalt der Polyeder" (Math. Ann. Bd. 57). M. Dehn в статье: ,Uber den Inhalt spharischer Dreiecke" (Math. Ann. Bd. 60) показал,* что учение о площадях в плоскости может быть также обосновано без аксиомы о параллельности, при помощи одних только предложений о конгруэнтности. См. кроме того—Finzel, „Die Lehre vom Flacheninhalt in der allgemeinen Geometrie" (Math. Ann. Bd. 72).
***') в этом смысле W. Su? обосновал учение об объемах (Matn. Ann. Bd. 82). W. Su? называет два тетраэдра с равными высотами и равновеликими основаниями Кавальеровски равными, кроме того два многогранника, которые допускают разложение на конечное число попарно Кавалье-ровск равных тетраэдров, — Кавальеровски равносоставленными и, наконец, два многогранника, которые могут быть представлены в виде разности Кавальеровски равносоставленных многогранников,—Кавальеровски равнодополни-мымн (ergansungsgleich). Можно доказать, не применяя аксиом непрерывности, что равенство мер объемов н Кавальеровская равнодополнимость — эквивалентные понятия, в то время как Кавальеровская равносоставленность для многогранников с равными мерами объемов может быть доказана только с помощью аксиомы Архимеда.
Глава V.
Теорема Дезарга.
§ 22.
Теорема Дезарга и ее доказательство для плоскости с помощью аксиом конгруэнтности.
Из аксиом, выставленных в главе I, аксиомы групп II — V все частью линейные, частью плоскостные; аксиомы 4-—8 группы I суть единственные пространственные аксиомы. Чтобы ясно понять значение этих пространственных аксиом, представим себе, что дана некоторая плоская геометрия и исследуем в общем виде условия, при которых эта плоская геометрия могла бы быть рассматриваема, как часть пространственной геометрии, в которой выполнены все аксиомы групп I—II.
На основании аксиом групп I—II, IV, как известно, легко доказать, так называемую, теорему Дезарга; эта последняя есть плоскостная теорема о точках пересечения (Schnittpunktsatz). Берем частный случай, когда прямая, на которой должны лежать точки пересечения соответствующих сторон обоих треугольников, есть, как говорят, „бесконечно удаленная" прямая, и получающуюся таким образом теорему, вместе с обратной ей, назовем просто теоремой Дезарга; эта георема читается следующим образом:
Теорема 34 (Теорема Дезарга). Если два треугольника расположены в одной плоскости так, что каждые две соответствующие стороны взаимно параллельны (черт. 38), то прямые, соединяющие соответствующие вершины, или проходят через одну и ту же точку или взаимно параллельны, и обратно:
€2
Глава V. Теорема Дезарга.
Если два треугольника так расположены в одной плоскости, что прямые, соединяющие соответствующие вершины, проходят через
Дезарга в плоскости есть во всяком случае необходимое условие для того, чтобы геометрия этой плоскости могла быть рассматриваема, как часть некоторой пространственной геометрии, в которой имеют место все аксиомы групп I, II, IV.
Мы будем рассматривать теперь, как и в главах III и IV, плоскую геометрию, в которой имеют место аксиомы Ii—3 и II — IV, и представим себе, что в ней введено исчисление отрезков согласно § 15; тогда, как это было доказано в§ 17, каждой точке плоскости может. быть так соотнесена пара отрезков (^>; у) и каждой прямой — отношение трех отрезков (и : г : w), при чем и и V—оба одновременно не нули, что линейное уравнение
является условием для нахождения точки на прямой. Система всех отрезков в нашей геометрии образует, согласно § 17, область чисел, для которой имеют место перечисленные в § 13 свойства, и мы можем поэтому с помощью этой области чисел построить пространственную геометрию, подобно тому, как это сделано в § 9 или § 12, с помощью системы чисел І2 или, соответственно, Q (Y); установим с этою целью, что система трех отрезков (я1, >/, г) может представлять точку, отношения четырех отрезков (и: г: : w : г) — плоскость, между тем, как прямые определяются как сечения двух плоскостей; при том линейное уравнение
одну точку -или взаимно параллельны, и если сверх того две пары соответствующих сторон треугольников параллельны, то и третьи стороны обоих треугольников взаимно параллельны.
Черт. 38.
Как уже упомянуто, теорема 34 есть следствие аксиом I, II, IV; согласно этому законность теоремы
их -)- vy -\- w = О
их -\- vy -\- WZ 4- г = О
§ 23. Недоказуемость теоремы Дезарга.
63
выражает, что точка (.?, у, г) лежит на плоскости (и: с : iv: г). Что касается, наконец, порядка точек на прямой, или — точек плоскости по отношению к прямой на этой плоскости, или, наконец, порядка точек по отношению к плоскости в пространстве, то таковой определится неравенствами между отрезками, аналогично с тем, как это имело место в § 9 для плоскости.
