Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Далее назовем два отрезка AB и А'В' конгруэнтными в нашей новой геометрии, если смешанная линия, проходящая между А и В, имеет такую же естественную длину, как и проходящая между .А' и В' смешанная линия.
Наконец, нам необходимо определение относительно конгруэнтности углов. Коль скоро ни одна из вершин сравниваемых углов
не лежит на эллипсе, мы С \ А' называем два угла взаимно конгруэнтными, если они равны между собою в обычном смысле 3). В противном случае мы введем следующее определение: пусть (черт. 40) точки А, В, G в этом порядке лежат на одной из прямых нашей новой геометрии, и точки А', В', G' в этом порядке на другой; пусть D есть точка вне пря -мой ABC и D'—точка вне прямой А'В'С': пусть тогда в нашей новой геометрии имеют место конгруэнции ZCBD=- ZCB1D',
Черт. 40.
ZABD = Z А'В'D'
коль скоро для обыкновенных углов между соответствующими смє-' шанными линиями в обычной геометрии выполнена пропорция
_: ABD : Z CBD = Z A' B'D': Z CB1D'. При этих определениях имеют место также и аксиомы III 1—4 и V
Недоказуемость теоремы Дезарга.
67
Чтобы убедиться, что во вновь установленной нами геометрии не имеет места теорема Дезарга, рассмотрим (черт. 41) следующие три обыкновенные прямые линии в плоскости XY: ось X, ось Y и прямую, соединяющую друг с другом две точки эллипса X = f,
у = и X = — % у =--~ . Так как эти три обыкновенные прямые
линии проходят через нулевую точку О, то мы можем легко ука-
Y
0{
у^~
у
S -і
^___¦ ?
у у
у
у
у
у
*
""""Ч <у
^y ч
У \
-М / л \ / s \
\ /у \
\ / у \
0
ч
Л о Но
У і \
\
X
Черт. 41.
¦зать два таких треугольника, вершины которых лежат соответственно на этих трех прямых, соответственные стороны которых попарно параллельны друг другу и которые целиком расположены вне эллипса. Так как смешанные линии, которые происходят из упомянутых трех прямых линий, не встречаются в одной точке, как показывает черт. 41, и что легко подтвердить путем вычисления, то, следовательно, теорема Дезарга наверно не имеет места в новой плоской геометрии для двух построенных выше треугольников 4 .
Установленная нами плоская геометрия служит в то же время примером плоской геометрии, в которой выполняются аксиомы І і—3, II, ПІ і—4, IV, V и которую, однако, нельзя рассматривать как часть некоторой пространственной геометрии.
5*
68
Глава V. Теорема Дезарга.
§ 24.
Введение исчисления отрезков без помощи аксиом конгруэнтности на основе теоремы Дезарга") 4).
Для полного выяснения значения теоремы Дезарга (теоремы 34) мы положим в основу некоторую плоскую геометрию, в которой имеют место аксиомы І і—3, II, IV **), т. е. все линейные и плоскостные аксиомы, за исключением аксиом конгруэнтности и непрерывности, и в эту геометрию введем, независимо от аксиом конгруэнтности, новое исчисление отрезков следующим образом:
Берем на плоскости две определенные прямые, пересекающиеся в точке О, и ведем в последующем исчисление только такими отрезками, начальная точка которых есть О и конечные точки
которых лежат по усмотрению 0.*ъ.С/ на одной из этих двух фикси-
рованных прямых. Самую же точку О мы рассматриваем как отрезок 0, в символах:
00 = 0 или 0= 00.
Q Пусть (черт. 42) E и E'
а.'Ъ будут каждая некоторою определенною точкою на этих фиксированных, проходящих через О прямых; отрезки OE и OE' будем рассматривать как отрезки 1, в символах:
OE= OE' = 1 или 1 = OE= OE'.
*) Вывод исчисления отрезков, примыкающий к <?грою идей геометрии положения, дает G. Hessenberg в своей работе .Uber einen geometrischen Kalkul" (Acta math. Bd. 29, 1904). Многие части вывода получаются легче,, если сперва развить учение о сложении векторов на плоскости на основе теоремы Дезарга. Ср. Holder .Streckenrechnung und projektive Geometrie". Leipz. Ben, 1911.
**) Аксиома параллельности (IV) для вывода нового исчисления отрезков должна быть изменена. Она должна быть положена в основу в следующей форме: пусть в рассматриваемой плоскости а—произвольная прямая и а — точка вне а, тогда в плоскости имеется одна, и только одна, прямая, которая проходит через А и не пересекает а.
Черт. 42.
§ 24. Введение исчисления отрезков. 69
а і b
Черт. 43.
точка А определяется так, чтобы -4.4' была параллельна единичной прямой ЕЕ'; пусть E соединена с А' и через В проведена параллельная к EA'; если эта параллельная встречает фиксированную прямую C)E' в точке С, то с= ОС называется произведением отрезка a = OA на отрезок Ii = OB, в символах: с = ab или O1i=i-.
Прямую ЕЕ' будем называть кратко единичною прямою. Далее если А и А' суть точки соответственно на прямых OE и OE' и соединяющая эти точки прямая AA' параллельна ЕЕ', то отрезки OA и OA' будем называть равными друг другу, в символах:
OA = OA' или OA' = OA.
Чтобы определить прежде всего сумму отрезков a = OA и Ь = ОБ, построим прямую -L4', параллельную единичной прямой ЕЕ', и проведем далее через А параллельную к OE и через В параллельную к OE'. Пусть обе эти параллельные пересекаются в А'. Наконец, проведем через Л" параллельную к единичной прямой ЕЕ'; если она встречает фиксированные прямые OE и OE в Iі и Г", тогда C=OC=OC называется суммою отрезка a = OA с отрезком Ь=ОВ, в символах:
