Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
координат х, у произвольной точки P на I имеем уравнение в отрезках
е X = у.
Пусть теперь I (черт. 50) есть произвольная не параллельная осям прямая на нашей плоскости; пусть она отсекает на оси х отрезок с~00'. Проводим далее через точку О прямую I, параллельную V. Лусть P' есть произвольная точка на/'; и пусть прямая параллельная
Черт. 50.
к оси X, проходящая через P', встречает прямую Z в точке P и отсекает на оси 1' отрезок у—OB; далее пусть параллельные к оси Y, проходящие через точки P и P', отсекают на оси X отрезки х—ОА и х'= OA'. •
Мы докажем теперь, что имеет место уравнение в отрезках
х' = X -)- с.
С этою целью проведем О'С параллельно единичной прямой, далее CD параллельно оси X и AD параллельно оси Y; тогда наше утверждение сводится к тому, что должна быть A1D параллельна О'С.
Построим еще D' как точку пересечения прямых CD и AP' и проведем О'С параллельно оси Г.
Так как в треугольниках OCP а О СP' прямые, соединяющие соответственные вершины, параллельны, то на основании второй формулировки теоремы Дезарга следует, что должна быть CP параллельна CP';
§ 27. Уравнение прямой на основе нового исчисления отрезков. 79
подобным же образом рассмотрение треугольников -1CP и А'С'Р' показывает, что
AC параллельна АС.
Так как таким образом в треугольниках ACIJ и CaO' соответственные стороны взаимно параллельны, то прямые АС, CA', DO встречаются в одной точке, и рассмотрение обоих треугольников С A'D' и ACO' показывает тогда, что A'I) и ССУ параллельны друг другу.
Из двух найденных доселе уравнений в отрезках гх = у и Xі — X -J- с тотчас же получается уравнение
ex' = // -J- ее.
Если, наконец, мы обозначим буквою п отрезок, который будучи сложен с отрезком 1 дает отрезок 0, то, как легко доказать, из последнего уравнения вытекает
ex' -J- пу -J- пес = О,
и это уравнение того вида, который указан теоремою 36.
Без труда убедимся теперь в справедливости второго утверждения теоремы 36; ибо каждое данное уравнение в отрезках вида
ах -J- Ьу -J- с = О,
"где іфО, очевидно, путем умножения слева на подходящий отрезок, может быть приведено к выше найденному виду
ex -J- пу -J- пес = 0.
Следует подчеркнуть, что при наших предположениях уравнение в отрезках вида
ха -J- yb~\- с = 0,
в котором отрезки а, Ь стоят справа от координат х, у, вообще не представляет прямую.
В § 30 будет дано важное применение теоремы 36.
80
Глава V. Теорема Дезарга.
§ 28.
Совокупность отрезков, рассматриваемая как комплексная числовая система
»
Мы непосредственно видим, что для нашего нового, обоснованного в § 24, исчисления отрезков имеют место предложения 1—6 §¦ 13.
Далее в § 25 и § 26 с помощью теоремы Дезарга мы выяснили, что для этого исчисления отрезков имеют место правила счета 7—11 § 13; таким образом сохраняются все предложения сочетания за исключением коммутативного закона умножения.
Наконец, чтобы сделать возможным установление порядка между отрезками, мы устанавливаем следующее условие. Пусть А, В будут какие-либо две различные точки прямой OE, тогда сообразно теореме 4 мы располагаем четыре точки О,E1 А, В в ряд. Если это возможно одним из следующих шести способов:
АВОЕ, АОВЕ, АОЕВ, ОАВЕ, ОАЕВ, ОЕАВ,
то отрезок a = OA мы называем меньшим, чем отрезок Ь — ОВ, в символах:
а < Ь.
Если же напротив имеет место одно из шести расположений BAOE1 BOAE1 ВО EA, OBAE1 О BE A, OEB А, то отрезок a = OA мы называем большим, чем отрезок b = OB1 в символах:
а > Ь.
Это условие остается в силе и в том случае, если А или В совпадают с О или E; только тогда совпадающие точки нужно рассматривать как одну точку, и, следовательно, вопрос шел бы о порядке только трех точек.
Легко убеждаемся, что теперь в нашем исчислении отрезков на основании аксиом H будут выполняться и правила счета 13—16 из § 13; такимобразом совокупность всех различных отрезков образует комплексную числовую систему, для которой наверно имеют место предложения 1 —11, 13—16 § 13, т. е. все законы, кроме коммутативного закона умножения и предложений непрерывности, мы будем в дальнейшем кратко называть такую числовую систему Деза2повою числовою системою.
§ 29. Пространствен, геометрия и Дезаргова числовая система.
81
§ 29.
Построение пространственной геометрии с помощью Дезарговой числовой системы.
Пусть дана некоторая Дезаргова числовая система I); она делает для нас возможным построение некоторой пространственной геометрии, в которой выполняются все аксиомы I, II, IV.
Чтобы убедиться в этом, примем систему каких-либо трех чисел (г, у, z) Дезарговой числовой системы 1) за точку, а систему каких-либо четырех чисел (и: v: w: г) из D, из коих первые три не равны одновременно 0, за плоскость; при чем системы (и: v: w: г) и (аи: ш: aw. аг), где а означает какое-либо отличное от 0 число из I), должны представлять одну и ту же плоскость. Существование равенства
UX -f- VIJ -j- WZ -|- г О
пусть выражает, что точка (г, у, г) лежит на плоскости (и: г: w: г). Наконец, прямую определяем с помощью системы двух плоскостей (и': г': «¦': г') и (u": v": w": г"), если нельзя найти двух отличных от 0 чисел из D а' и а" таких, что одновременно
