Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
*) „Uber die Theorie der relativquadratischen Zahlkorper" [Jahresbericht, d. Deutschen Math.-Vereinigung Bd. 6, 1899 и Math. Ann. Bd. 51]; кроме того: „Uber die Theorie der relativ-Abelschen Zahlkorper* [Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. zu Gottingen, 1898 и Acta mathematica Bd. 26].
**) В первом издании мною, на основании теоремы 43, была доказана возможность представить f (х) как частное двух сумм квадратов. Между тем Е. Landau удалось дать доказательство возможности представить f (х) просто как сумму квадратов, как указано выше, при том исключительно при помощи очень простых и элементарных вспомогательных средств [Math. Ann. Bd. 57, 19031. См., наконец, работы: Fleck „Zur Darstellung definiter
7*
100 Глава VIL Геометрические построения на основе аксиом I—IV.
Вероятно окажется очень трудным формулировать и доказать соответствующие положения для целых рациональных функций от двух или более переменных; однако, нельзя не указать на то, что мною совершенно другим путем доказана возможность представить произвольную целую рациональную функцию двух переменных под видом частного сумм квадратов целых функций—в предположении, что для рассматриваемых функций допустимы не только рациональные, но и произвольные вещественные коэффициенты ').
§ 39.
Критерий выполнимости геометрических построений с помощью линейки и эталона длины.
Пусть дана геометрическая задача на построение, выполнимая с помощью циркуля; мы хотим попытаться установить тогда критерий, позволяющий судить непосредственно по аналитической np_iu роде задачи и ее решений, выполнимо ли построение также с помощью только линейки и эталона длины.
При этом исследовании мы придем к следующей теореме: Теорема 45. Пусть предложена геометрическая задача на построение такого рода, что при аналитической ее обработке координаты искомых точек можно получить из координат данных точек исключительно посредством рациональных операций и извлечений квадратного корня; пусть п есть наименьшее число квадратных корней, которое достаточно при этом для вычисления координат точек; тогда для того, чтобы предложенная задача на построение решалась исключительно с помощью проведения прямых и отложения отрезков, необходимо
binarer Formen als Summen von Quadraten ganzer rationalzahliger Formen" („Arch. d. Math. u. Phys. R. III Bd. 10,1906] и E. L a n d a u „Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate" [Arch. d. Math. u. Phys. R. III Bd. 7, 1904] и „Uber die Darstellung definiter Funktionen durch Quadrate" (Math. Ann. Bd. 62, 1906], в которых разбирается вопрос относительно наименьшего числа квадратов необходимого, чтобы представить f (х) как сумму: в частности в последней работе Е. Landau выясняет, что для такого изображения во всяком случае достаточно восьми квадратов, какова бы ни была степень f (х).
*) „Uber ternare definite Formen", Acta Mathematica Bd. 17.
§ 39. Критерий выполнимости геометрических построений.
101
¦и достаточно, чтобы геометрическая задача имела ровно 2" вещественных решений и притом для всех положений данных точек, т. с. для всех значений произвольных параметров, входящих в коопдинаты данных точек.
Доказательство. Мы доказываем эту теорему 45 исключительно для случая, когда координаты данных точек суть рациональные функции одного параметра р с рациональными коэффициентами.
Необходимость выставленного критерия явствует из § 37. Чтобы показать, что он и достаточен, предположим, что этот критерий удовлетворен, и рассмотрим прежде всего тот из п квадратных корней, который должен быть определен прежде всего при вычислении координат искомых точек. Выражение под этим квадратным корнем есть некоторая рациональная функция f\ (п) параметра р с рациональными коэффициентами; эта рациональная функция не может никогда ни для каких произвольных вещественных значений параметра р принять отрицательного значения, так как в противном случае, вопреки предположению, предложенная задача допускала бы для некоторых значений р мнимые решения. Из теоремы 44 мы заключаем поэтому, что fx (р) представима как частное сумм квадратов целых рациональных функций. Теперь формулы
уф+і*+#+гр=y^=^r=-f+^.t
показывают, что вообще извлечение квадратного корня из суммы произвольного числа квадратов может быть сведено всегда к повторному извлечению квадратного корня из суммы двух квадратов.
Сопоставляя это замечание с предыдущим результатом, мы усматриваем, что выражение V'fi 0J) несомненно может быть построено с помощью линейки и эталона длины.
Рассматриваем далее тот из п квадратных корней, который должен быть извлечен во вторую очередь при вычислении координат искомых точек. Выражение под этим квадратным корнем есть рациональная функция f2 (р i/f\) параметра р и уже рассмотренного квадратного корня: и эта функция f.> также не может никогда
102 Глава VII. Геометрические построения на основе аксиом I—IV.
получить отрицательного значения ни при каких произвольных вещественных значениях параметра р и ни для какого знака при корне у'/',, т. к. иначе, вопреки предположению, предложенная задача должна была бы иметь при некоторых значениях р в числе своих 2" решений также и мнимые решения. Из этого обстоятельства следует, что f.. должно удовлетворить квадратному уравнению вида
