Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
(1) ts = 2*t.
Если теперь S' и S" будут какие-либо два выражения вида Si;
S' = в"' TJ 4- s»' +1 T1' Ar «"'+2 Т'2 -f.....,
то, очевидно, соединением можно составить новое выражение 8' -ф 8", которое опять имеет вид S и в то же время однозначно определено: это выражение St' ф S" называется суммою чисел, представленных посредством 6", S".
§ 33. Коммутативный закон умножения.
89
Почленным умножением обоих выражений •S", S" мы получаем прежде всего выражение вида
^',«?» = я»' T0V"" T0" + (.-•'»' T01s™" + 1 T1" + ^'' + 1T1V" T0") -f + (s» Т0У»"+2Г2" 4- 8'"'+1T,y»" + iT," + s'»'+2T2V"T0") 4-+......
Это выражение при применении формулы (1) очевидно обратится в однозначно определенное выражение вида *S'; это последнее будет называться произведением числа, представленного посредством S', на число, представленное посредством S".
При установлении такого способа исчисления непосредственно очевидна применимость предложений 1—4 и 6 из § 13. Не трудно усмотреть также и применимость положения 5 из § 13 1). Для этой цели предположим, что, напр.,
Л" =: .4'"' T0' + .V™' + 1 T1 + .v™' + -T2' -f.....
и
S'" = *т'" T0'" -{- ,«•""' + 1 T1'" -г2 T2'" + . . .
два данные выражения вида S. и обратим внимание на то, что, согласно нашим положениям, первый коэффициент г0 в T1/ должен быть отличен от 0. Сравнивая одинаковые степени в обеих частях уравнения
(2) S'S'= S'",
находим однозначно определенным образом сначала некоторое целое число т", как показатель степени, и затем последовательно выражения
T0", T1", T2-. . .t . .
так, что выражение
s" = V"'" т0" 4- .S-»1"+1T1" 4- sm"+'- T2" -4-. . . .
будет при употреблении формулы (1) удовлетворять уравнению (2); таким образом желаемое доказано.
Наконец, для того, чтобы сделать возможным расположение по порядку чисел нашей числовой системы Q (s, t), мы введем следующие определения: число системы будет называться <или > 0, смотря по тому < или > 0 первый коэффициент гй при T0 в выражении Л', представляющем это число. Если даны два какие-либо числа комплексной числовой системы а и Ь, то будем называть соответственно а < Ь или а > Ь, смотря по тому будет ли а — b <0 или > 0,
90
Глава VI. Теорема Паскаля.
непосредственно видно, что при этих определениях имеют место правила 13—16 § 13, т. е. Q(*,t) есть Дезаргова числовая система (ср. § 28).
Правило 12 из § 13, как показывает уравнение (1), не выполняется в нашей числовой системе Q (s, f), и тем самым справедливость теоремы 40 вполне выяснена.
В согласии с теоремой 39 предложение Архимеда (предложение 17 в § 13) не имеет места для образованной таким образом числовой системы Q (s, t).
Необходимо отметить еще, что числовая система Q («, ?) — подобно числовым системам й и ? (t), которыми мы пользовались в § 9 и § 12,—заключает только исчислимое множество чисел.
§ 34.
Доказательство обеих теорем о теореме Паскаля. (Не-паскалева геометрия).
Если в некоторой пространственной геометрии выполнены все , аксиомы I, II, IV, то имеет место и теорема Дезарга (теорема 34), и поэтому на основании §§ 24—-26 главы V в этой геометрии возможно введение исчисления отрезков, для которого имеют место правила 1—11, 13—16 из § 13. Если мы введем в нашу геометрию и аксиому Архимеда Vt, то, очевидно, для исчисления отрезков будет иметь место предложение Архимеда (предложение 17 в § 13), и следовательно, на основании теоремы 39, также и коммутативный закон умножения. Но так как рассматриваемое здесь, введенное в § 24 (черт. 43), определение произведения отрезков совпадает с определением, данным в § 15 (черт. 24), то, согласно построению выполненному в § 15, коммутативный закон умножения двух отрезков выражает и здесь не что иное, как теорему Паскаля.
Для доказательства теоремы 38 обратим внимание на установленную в § 33 Дезаргову числовую систему Q (а, t), и с ее помощью построим, путем, указанным в § 29, пространственную геометрию, в которой имеют место все аксиомы I, II, IV. Однако, теорема Паскаля не выполняется в этой геометрии, так как коммутативный закон умножения не имеет места в Дезарговой числовой системе Q (.s-, t). Построенная таким образом „не-паскалева" ?ео-
§ 35. Доказательство любой теоремы о точках пересечения. 91
метрия есть, в согласии с выше доказанной теоремой 37, в то же время необходимо и „не - архимедова геометрия".
Очевидно, что теорема Паскаля при наших предположениях не может быть доказана и в том случае, если мы будем рассматривать пространственную геометрию как часть некоторой геометрии сколь угодно многих измерений, в которой кроме точек, прямых и плоскостей существуют еще и другие элементы и для которой в основу положена соответствующая система аксиом сочетания и порядка, также как и аксиома параллельности 2).
§ 35.
Доказательство любой теоремы о точках пересечения с помощью теорем Дезарга и Паскаля.
Каждая плоскостная теорема о точках пересечения (Schnittpunktsatz) имеет такую форму: выберем прежде всего систему точек и прямых произвольно, но с тем условием, однако, что некоторые из этих точек и прямых инцидентны; если затем определенным образом построить соединяющие прямые и точки пересечения, то в конце концов получается определенная система прямых, о которых теорема утверждает, что они проходят через одну и ту же точку.
