Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 31

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — Петроград-книгоиздательство Сеятель, 1923. — 152 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniya-geometrii.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 64 >> Следующая


Так как, полагая значение s = 0, мы получаем снова первоначальную плоскую геометрию, то мы видим, что наша плоская геометрия может быть рассматриваема как часть некоторой пространственной геометрии. Но на основании предыдущего необходимым условием для этого является наличность теоремы Дезарга, и отсюда следует, что в этой плоской геометрии должна иметь место и теорема Дезарга.

Заметим, что только что найденный факт может быть выведен без труда и непосредственно из теоремы 24 учения о пропорциях.

§ 23.

Недоказуемость теоремы Дезарга в плоскости без помощи аксиом конгруэнтности.

Исследуем теперь вопрос может ли теорема Дезарга быть доказана в плоской геометрии без помощи аксиом конгруэнтности; в результате мы получим следующую теорему:

Теорема 35. Существует плоская геометрия, в которой имеют место аксиомы І і — 3, II, IH 1 — 4, IV, V, т. е. все линейные и плоскостные аксиомы, за исключением аксиомы конгруэнтности III 5, между тем, как теорема Дезарга. (теорема 34) не имеет места. Теорема Дезарга не может быть таким образом выведена только из перечисленных аксиом: для ее доказательства необходимы или пространственные аксиомы или аксиома III 51) о конгруэнтности треугольников.

Доказательство. Мы выбираем в обыкновенной плоской геометрии, возможность которой выяснена уже в главе II § 9, какие-либо две взаимно перпендикулярные прямые за оси координат X, У и представляем себе построенный около нулевой точки О этой координатной системы, как около центра, эллипс с полуосями рав.

04

Глава V. Теорема Дезарга.

ными, напр., 1 и I ; обозначаем, наконец, буквою F точку, лежащую на положительной оси А' на расстоянии \ от точки О.

Представим себе теперь совокупность всех окружностей, пересекающих эллипс в четырех вещественных—раздельных или хотя бы и совпадающих—точках, и постараемся найти между всеми точками, лежащими на этих окружностях, ту точку, которая на положительной оси А" отстоит всего дальше от нулевой точки. Для этой цели мы исходим из произвольной окружности, пересекающей эллипс в четырех точках и встречающей положительную ось А в точке С. Вообразим себе потом эту окружность вращающейся около точки U так, что две из четырех точек пересечения, или больше, сливаются в одну единственную точку А, между тем как остальные остаются вещественными. Полученная таким образом соприкасающаяся окружность пусть будет потом увеличиваема так, чтобы точка А оставалась точкою касания с эллипсом; эти:.^ путем мы придем непременно к окружности, которая или касается эллипса еще в одной точке В или имеет в точке А двойное касание с эллипсом и которая, кроме того, встречает положительную ось А в точке более отдаленной, чем С. Искомая наиболее отдаленная точка найдется поэтому между теми точками, в которых окружности двойного касания, проходящие вне эллипса, пересекают положительную ось А. Но окружности двойного касания, проходящие вне эллипса, как легко видеть, все симметрично расположены по отношению к оси Y. Пусть о, b суть координаты какой-либо точки эллипса; легкое вычисление показывает тогда, что касающаяся в этой точке симметричная по отношению к оси Y окружность отсекает на положительной оси А отрезок

г = 1/1 I

Наибольшее возможное для этого выражения значение получается для Ь — \ и равно, следовательно, J- | j/7 J. Так как точка, обозначенная выше буквоюF,имеет на оси А'абсциссу s„ ~> - vl > то отсюда следует, что между всеми окружностями, встречающими эллипс в четырех точках, нет наверно ни одной, которая проходила бы через точку F.

§ 23. Недоказуемость теоремы Дезаргл.

65

Создадим теперь новую плоскую геометрию следующим образом: точками новой геометрии будем считать точки плоскости XV (черт. 39); прямыми новой геометрии будем прежде всего считать те прямые плоскости XY, которые касаются основного эллипса или совсем не встречают его; если же, напротив, G есть прямая плоскости Л'T1 которая встречает эллипс в двух точках PnQ, то мы

проводим окружность через точки Y Р, Q и неподвижную точку f;

i\ эта окружность, как вытекает

из выше доказанного, не имеет

Черт. 39.

с эллипсом больше ни одной обшей точки. Теперь вообразим себе часть прямой G, лежащую внутри эллипса между точками P и Q, замененною тою дугою только что построенной окружности, которая проходит внутри эллипса между точками PnQ. Смешанную линию (Linienzug — собственно цепь линий), которая состоит из обеих исходящих из точек P и Q1 бесконечных частей прямой (т и из только что построенной дуги окружности PQ,

Гильберт. Основания геометрии. 5

66

Глава V. Теорема Дезарга.

примем за прямую вновь устанавливаемой геометрии. Если вообразим для всех прямых плоскости XY соответствующие смешанные линии, то образуется система смешанных линий, которые, будучи рассматриваемы как прямые некоторой геометрии, очевидно, удовлетворяют аксиомам І і-—3 и IV 2). Установив в нашей новой геометрии естественный порядок расположения для точек и прямых, мы убеждаемся непосредственно в том, что и аксиомы II имеют место.
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed