Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
A'F" параллельна FH.,.
Так как таким образом в обоих горизонтально заштрихованнных треугольниках OA'F" h-TH2F соответственные стороны параллельны, то по теореме Дезарга три соединительные прямые
OJ, A'H2, F" F'
встречаются в одной и той же точке, напр., в точке Таким же образом мы находим, что должна быть и
A'F' параллельна F"Ht,
и так как поэтому в обоих наискось заштрихованных треугольниках OA" F' и JH1F" соответственные стороны параллельны, то по теореме Дезарга три соединительные прямые
0.1, A" H1, FF"
также встречаются в одной точке—точке /-*.
С другой стороны прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников OA'А" и JH1H1, проходят через одну и ту же точку P1 и отсюда следует, что должна быть
H1H2 параллельна-1'J ";
поэтому и
Н{Н2 параллельна Г"С".
Рассмотрим, наконец, фигуру F"H2C'C"H1F 'F". Так как в ней
F"H2 параллельна CF' параллельна CH1, H2C'' „ F"C" „ H1F',
С С" „ H1H2,
§ 26. Ассоциативный закон умножения.
75
то мы узнаем здесь снова фигуру чертежа 44 (B'В"AA'A"BB'), которою мы пользовались в § 25 для доказательства коммутативного закона сложения. Соответствующие заключения показывают тогда, как и там, что должна быть
FF" параллельна H1H2,
и так как вместе с тем и
FF" параллельна А'А",
то мы имеем полное доказательство нашего утверждения.
Для доказательства второй формулы дистрибутивного закона служит совершенно иное построение (черг. 48). В нем
I=OD, а=ОА, а=OB, b=OG, c=OD',
ar=zOA', ас=ОВ', bc=OG' и т. д.,
а і ас г
Черт. 48.
и проходят
GH параллельно G1H', параллельно фиксированной прям. OA, АН „ АН' „ OB
и затем
A? параллельна AB' BD я B1D' DG „ D'G' HJ „ HJ'.
76
Глава V. Теорема Дезарга.
Наше утверждение сводится к тому, чтобы доказать, что тогда должна быть и
/)¦/ параллельна D'J.
Обозначаем точки, в которых BD и (H) встречают прямую AR соответственно буквами CkF, и затем точки, в которых BB' и С"D' встречают прямую A' H', соответственно буквами С и V: наконец, проводим еще вспомогательные прямые FJ и F'J', означенные на чертеже пунктиром.
В треугольниках ABC и А'В'С соответственные стороны параллельны; поэтому по теореме Дезарга три точки 0,С,С лежат на одной прямой. Подобным же образом из рассмотрения треугольников CDF и CD1F' вытекает тогда, что 0,F,F' лежат на одной прямой, и из рассмотрения треугольников FCH и FCH' видно, что U,H,H' суть точки одной прямой. Теперь в треугольниках FHJ и FH'J' прямые, соединяющие соответственные вершины, проходят через одну и ту же точку О, и поэтому, на основании второй формулировки теоремы Дезарга, прямые FJ и F1J' между собою параллельны. Наконец, рассмотрение треугольников DFJ и DF1J' показывает, что прямые DJ и D1J' взаимно параллельны, и этим дано полное доказательство нашего утверждения.
§ 27.
Уравнение прямой на основе нового исчисления отрезков.
В §§ с 24 по 26 с помощью аксиом, приведенных в § 24, и в предположении, что теорема Дезарга имеет место для плоскости, мы ввели исчисление отрезков, в котором имеют место коммутативный закон сложения, ассоциативные законы сложения и умножения, равно как оба дистрибутивные закона. Мы хотим показать в этом параграфе, каким образом на основе этого исчисления отрезков возможно аналитическое изображение точек и прямых на плоскости.
Пояснение. Мы называем на плоскости обе намеченные фиксированные прямые, проходящие через О, осями А' и T1 и мыслим каждую точку V плоскости определенною отрезками х, у, которые получаются соответственно на осях X и T1 если провести через P параллельные к этим осям. Эти отрезки х, .у называются координа-
§ 27. Уравнение прямой на основе нового исчисления отрезков. 77
тами точки Р. На основании нового исчисления отрезков и с помощью теоремы Дезарга, мы получаем следующее предложение: Теорема 36. Координаты х, у точек на произвольной прямой всегда удовлетворяют уравнению в отрезках вида
axA-hgA-c—Q;
в этом уравнении отрезки а. Ъ стоят непременно по левую сторону от координат х, у; отрезки а, Ь одновременно оба ни в косм случае не нули, и с есть произвольный отрезок.
Обратно: Каждое уравнение в отрезках указанного вида всегда представляет прямую в положенной в основу плоской геометрии.
Доказательство. Мы предполагаем прежде всего, что прямая / (черт. 49) проходит через О и отлична отосей. Далее пусть С есть опре-
Y
Черт. 49.
деленная отличная от О точка на I, и P произвольная точка на /; пусть координаты С суть OA, OB и координаты Р—х, у; обозначаем прямую, соединяющую конечные точки x и у, буквою д. Наконец, проводим через конечную точку отрезка 1 на оси X параллельную к ABh; пусть эта параллельная отрезает на оси Y отрезок е. На основании второй формулировки теоремы Дезарга легко вывести, что прямая д всегда идет параллельно AB. Так как вместе с тем и д непременно параллельна її, то, следовательно, для
78
Глава V. Теорема Дезарга.
