Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
J(PA-P) = J(QA-Q') J(D = J(Q')
легко заключаем
•І (-И = J (Q),
т. е. равновеликие многоугольники имеют равные меры площадей.
§ 21.
Равновелнкость и мера площади.
В § 20 мы нашли, что равновеликие многоугольники имеют всегда равные меры площадей. Из этого положения мы получаем непосредственно доказательство теоремы 30. Действительно, обозначая равные основания обоих треугольников буквою д, соответствующие высоты буквами h и ji', мы заключаем из принятой равновеликое™ обоих треугольников, что должны быть равны и их меры площадей, т. е., следовательно,
' .V*= І .'/><' і
и, значит, после деления на ., if,
ii = ji':
что и составляет содержание теоремы 30.
58
Глава IV. Учение о площадях в плоскости.
Теперь можно также доказать положение, обратное установленному в конце § 20. Действительно, пусть P vi Q будут два многоугольника с равными мерами площадей; построим, согласно теореме 29, два прямоугольных треугольника Jh Е, из которых каждый имеет один катет 1, и такие, что треугольник J равновелик с многоугольником Р, а треугольник E — с многоугольником Q. Тогда из теоремы, доказанной в конце § 20, следует, что J с Р, равно как EcQ, имеют равные меры площадей. Из равенства мер площадей PhQ следует, что и J и E имеют равные меры площадей. Так как при том эти оба прямоугольных треугольника имеют по одному катету равному 1, то необходимо равны и другие катеты, т. е. оба треугольника л и E взаимно конгруэнтны, и, следовательно, по теореме 25, оба многоугольника PnQ взаимно равновелики.
Оба положения, доказанные в этом и в предыдущем параграфе, мы соединяем в следующей теореме:
Теорема 32. Два равновеликих многоугольника имеют всегда равные меры площадей и два многоугольника с равными мерами площадей всегда взаимно равновелики.
В частности два равновеликих прямоугольника с общей стороной должны совпадать и другими сторонами. Также имеет место теорема:
Теорема 33. Если мы разобьем прямоугольник прямыми на много треугольников и выкинем затем только один из этих треугольников, то остальными треугольниками прямоугольник уже не может быть заполнен *).
Эта теорема была выставлена de ZoIt'ом **)иО. StoIz'ом ¦'"¦'""¦) как аксиома и затем доказана F. S с h иг'ом ****) и W. Ki И і п g'oM **й**) с помощью аксиомы Архимеда. Выше показано, что она имеет место совершенно независимо от аксиомы Архимеда.
*) Относительно замечательной роли, которую эта теорема 33 играет для дополнения, так называемых, „теорем о конгруэнтности в узком смысле" ср. конец прибавления II в немецком нзданнн настоящего сочинения.
**) Principii della eguaglianza di poligoni preceduti da alcuni critici sulla teoria della equivalenza geometrica. Milano. Briola. 1881. См. также — Principii della eguaglianza di poliedri е di poligoni sferici. Milano, Briola, 1883.
***) Manatshefte fur Math, und Phys., Jahrgang 5, 1894.
****) Sitzungsberichte der Dorpater Naturf. Ges., 1892.
»****) Grundlagen der Geometrie, Bd. 2, Abschnitt 5, § 5, 1898.
§21. Равновелнкость и мера площади.
59
Для доказательства теорем 30, 31, 32 мы основывались существенным образом на исчислении отрезков, введеном в главе III § 15, а так как это исчисление в главном само основано на теореме Паскаля (теорема 22^ или скорее на ее частном случае (стр. 37), то теорема Паскаля оказывается важнейшим краеугольным камнем для учения о площадях.
Легко убедиться, что и обратно теорема Паскаля может быть в свою очередь выведена из теорем 28 и 30. Действительно, из параллельности прямых CB' к ("В (черт. 37) следует по теореме 28 равновелнкость треугольников OBB' и OCC'; точно также из параллельности прямых ('.4' и AC' следует равновелнкость треугольников OAA' и OCC Так как, следовательно, и треугольники OAA'
OBB' взаимно равновелики, то, на основании теоремы 30, и BA' должна быть параллельна с AB'.
Из двух неравновеликих многоугольников PnQ мы называем P соответственно меньшим по площади или бблыиим по площади, чем Q, смотря по тому, окажется ли мера площади -Г(Р) меньше или больше, чем J(Q). Из предыдущего ясно, что понятия равновеликий, меньший по площади и больший по площади взаимно исключают друг друга. Далее легко усмотреть, что многоугольник, лежащий целиком внутри другого многоугольника, всегда должен быть меньше по площа ци, чем этот последний.
Этим мы обосновали существенные теоремы учения о площадях в плоскости.
Уже Гаусс обратил внимание математиков на соответственный вопрос для пространства. Я высказал предположение о невозможности аналогичного обоснования учения об объемах и поставил
€0
Глава IV. Учение о площадях в плоскости.
определенную задачу*),—найти два тетраэдра с равными основаниями и равными высотами, которые бы не допускали никакого разложения на конгруэнтные тетраэдры и которые не допускали бы также обращения их, присоединением конгруэнтных тетраэдров, в такие многогранники, для которых было бы возможно в свою очередь разложение на конгруэнтные тетраэдры.
М. Dehn'y **) действительно удалось это доказать; он доказал тем самым вполне строго невозможность обосновать учение об объемах так, как это в предыдущем было сделано для площадей.
