Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
т. е.
a:hb = h:Jia
aJia = hhb;
таким образом, в каждом треугольнике произведение основания и соответствующей высоты не зависит от того, которую сторону треугольника избрать за основание. Половина произведения основания и высоты треугольника есть поэтому отрезок характерный для треуголь-
§ 20. Мера площади для треугольников и многоугольников. 55
*
ника J; он называется мерою площади треугольника J и будет обозначаться •/(J). •
Пояснение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с какой-либо точкой противолежащей стороны, называется шранс-черсалью треугольника: он разбивает треугольник на два треугольника с общей высотой, основания которых лежат на одной и той же прямой; такое разложение называется трансвереальным разложением треугольника.
Теорема 31. Если треугольник J разложен как-нибудь (черт. 35) произвольными прямыми на некоторое конечное число треугольников Ак, то всегда " мера площади треугольника J равна сумме мер площадей всех треугольников Ак.
Доказательство. Из дистрибутивного закона в нашем исчислении отрезков непосредственно вытекает, что мера Четр. 35.
площади произвольного треугольника
равна сумме мер площадей двух таких треугольников, которые получаются из этого треугольника путем какого - либо трансверсаль-ного разложения. Повторное применение этого положения показывает, что мера площади любого треугольника равна также сумме
мер площадей всех тех треугольников, которые получаются из данного треугольника, если произвести последовательно произвольное число трансверсаль-ных разложений.
Чтобы теперь вывести соответствующее доказательство для произвольного разложения треугольника J на треугольники J,, проведем из одной из вершин J треугольника J (черт. 36) через каждую узловую точку разложения, Черт. 36. т. е. через каждую вершину треуголь-
ников Ак, трансверсаль; всеми этими трансверсалями треугольник J разбивается на некоторые треуголь ники J1. Каждый из этих треугольников J, разбивается разде-
56
Глава IV. Учение о площадях в плоскости.
ляющими отрезками данного разложения на некоторые треугольники и четыреугольники. Если мы еще и в четыреугольниках проведем по одной диагонали, то каждый треугольник J1 разобьется на некоторые треугольники J,s. Мы хотим теперь показать, что разложение на треугольники An, как для треугольников J1, так и для треугольников Ак, есть не что иное, как цепь трансвер-сальных разложений.
Действительно, прежде всего ясно, что всякое разложение треугольника на частные треугольники может быть достигнуто всегда рядом трансверсальных разложений, если при разложении внутри треугольника не лежит ни одной узловой точки и, сверх того, по меньшей мере одна сторона треугольника остается свободной от узловых точек.
Теперь для треугольников A1 наше утверждение вытека.ет из того, что для каждого из них, как внутренняя область, так и одна сторона, а именно сторона, противолежащая точке А, свободны от новых узловых точек.
Но и для всякого треугольника J,. разложение на J111 может быть сведено к трансверсальным разложениям. Действительно, рассматривая какой-либо треугольник Лк, мы видим, что между трансверсалями треугольника J, выходящими из точки .1, окажется некоторая определенная трансверсаль, которая или совпадает с одной из сторон треугольника Ак или разделяет сама треугольник Лк на два треугольника. В первом случае соответствующая сторона треугольника J4 остается вообще без новых узловых точек при разложении на треугольники J18: в последнем же случае отрезок этой трансверсали, проходящий внутри треугольника J4, есть для обоих соответственных треугольников сторона, которая при делении на треугольники J13 во всяком случае остается свободною от новых узловых точек.
На основании соображения, приведенного в начале этого доказательства, мера площади •/(J) треугольника J равна сумме всех мер площадей •/(J,) треугольников J1, а эта сумма равна сумме всех мер площадей -/(J,g). С другой стороны и сумма мер площадей J(Ak) всех треугольников Лк равна сумме всех мер площадей •/(J,,), и отсюда следует, наконец, что и мера площади •/(J) равна суммеі всех мер площадей -/(Ак). Таким образом дано полное доказательство теоремы.
§ 21. Равновелнкость н мера площади.
57
Пояснение. Определяя меру площади многоугольника -1(B), как сумму мер площадей всех треугольников, на которые он распадается при некотором разложении, мы можем на оснопании теоремы 31 убедиться—подобно тому, как это было сделано в § 18 при доказательстве теоремы 25,— что мера площади многоугольника не зависит от способа разложения на треугольники и, таким образом, однозначно определяется самим многоугольником. Из этого пояснения с помощью теоремы 31 заключаем, что равносоставленные многоугольники имеют одинаковые меры площадей.
Кроме того, если P и Q—равновеликие многоугольники, ¦ то на основании данного пояснения должны существовать два равносоставленные многоугольника iу и Q' такие, что многоугольник (P-^-P'), составленный из P и P', окажется равносоставленным с многоугольником iQ\-Q'), составленным из Q и (/. Из двух уравнений
