Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 26

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — Петроград-книгоиздательство Сеятель, 1923. — 152 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniya-geometrii.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 64 >> Следующая


Ьх —ау — Ъс = 0.

Проведем теперь в плоскости а через некоторую точку О две взаимно перпендикулярные прямые (черт. 30), которые будут составлять неподвижную прямоугольную систему координатных осей, и отложим затем от точки О на обеих прямых произвольные отрезки у и при том по ту или по другую сторону, смотря

48

Глава III. Учение о пропорциях.

Таким образом, независимо от аксиомы Архимеда, мы легко приходим к заключению, что каждая прямая в плоскости может быть представлена линейным уравнением в координатах ./;, //, и обратно, каждое такое линейное уравнение представляет прямую, при чем коэффициенты уравнения суть отрезки, принадлежащие соответствующей геометрии.

Соответствующие результаты для пространственной геометрии доказываются столь же просто.

Дальнейшее построение геометрии может совершаться отныне по методам, которые вообще применяются в аналитической геометрии. *

До сих пор мы совсем не пользовались в этой III главе аксиомой Архимеда; предполагая же, что она имеет место, мы можем каждой точке произвольной прямой в пространстве отнести (.оответ-ствующие вещественные числа, и именно следующим образом:

Избираем на прямой две произвольные точки и относим им числа 0 и 1; затем разделяем пополам отрезок 0 1 и обозначаем соответствующую среднюю точку числом V2, далее средину отрезка O1Z2 числом V4 и т. д. При ?г-кратном применении этого приема мы приходим к точке, которой должно быть отнесено число 2'„: Откладываем затем отрезок 0 от точки 0, как в сторону точки I, так и в противоположную, последовательно т раз и приписываем получаемым таким образом точкам численные

»1 fit W J л

значения gS и, соответственно, — 2„ . Из аксиомы Архимеда легко

заключить, что на основе такого соотнесения каждой произвольной точке прямой можно однозначно отнести вещественное число и притом так, что это соответствие будет иметь следующее свойство: если А, В, С суть какие-либо три точки прямой и а, 3, у— соответствующие вещественные числа, и А лежит между В и Г, то числа и, ?, у удовлетворяют всегда или неравенству а < ? < у, или о > ? > у.

Из соображений, изложенных в главе II § 9, ясно, что для каждого числа, принадлежащего к алгебраическому числовому корпусу U, существует необходимо некоторая точка прямой, которая соответствует этому числу. Соответствует ли также всякому другому

§ 17. Уравнения прямых и плоскостей. 49

вещественному числу некоторая точка, зависит от того, имеет ли в данной геометрии место аксиома полноты V 2 или нет.

Напротив того, если только принять и наличность аксиомы Архимеда, всегда возможно так расширить систему точек, прямых и плоскостей „иррациональными" элементами, что в рассматриваемой геометрии каждой системе трех вещественных чисел без исключения будет соответствовать некоторая точка 3). При помощи подходящего условия вместе с тем возможно достигнуть того, что в расширенной геометрии будут иметь место все аксиомы I—V. Эта расширенная (присоединением иррациональных элементов) геометрия есть не что иное, как обыкновенная аналитическая Декартова геометрия пространства, в которой имеет место и аксиома полноты V 2

*) Ср. замечания в конце § 8.

4

Гильберт. Основания геометрии.

S

Глава IV. Учение о площадях в плоскости.

§ 18-

Равносоставленость и равновеликость многоугольников.

Мы кладем в основание исследований настоящей IV главы те же аксиомы, что и в главе III, а именно линейные и плоскостные аксиомы всех групп, за исключением аксиом непрерывности, т. е аксиомы Ii — 3 и II—IV.

Изложенное в главе III учение о пропорциях и введенное там исчисление отрезков дает нам возможность обосновать учение Евклида о площадях с помощью этих аксиом, т. е. п плоскости и независимо от аксиом непрерывности.

Так как, согласно исследованиям главы III, учение о пропорциях существенно основывается на теореме Паскаля (теорема 22), то то же самое относится и к учению о площадях; обоснование учения о площадях кажется мне одним из наиболее замечательных приложений теоремы Паскаля в элементарной геометрии.

Пояснение. Если соединить две точки многоугольника P ломанною линиею, целиком расположенною внутри многоугольника, то получаются два новых многоугольника P1 и P0, внутренние точки которых все лежат внутри Р; мы говорим: P распадается на P1 и P2 или P1 и P2 составляют вместе Р.

Пояснение. Два многоугольника называются равносоставлсн-ными (zerlegunfjbffleich), если они могут быть разложены на конечное число треугольников, которые попарно взаимно конгруэнтны между собою.

§ 18. Равносоставленость h равновелнкость многоугольников. 51

Пояснение. Два многоугольника называются равновеликими, (inc halt sf/le ich) или равными по величине, если возможно присоединить к ним равносоставленные многоугольники так, чтобы оба составные многоугольника были равносоставленными 1).

Из последних пояснений немедленно следует: от соединения равноооставленных многоугольников образуются снова равно-составленные многоугольники; если же от равнососгавленных многоугольников отнять равносоставленные многоугольники, то ¦остающиеся многоугольники будут равновелики.
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed