Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Черт. 26.
OD = ab
и в виду равенства ODA и ОВС, согласно тому же определению,
OD = Ьа.
Вытекающий отсюда коммутативный закон умножения
ah = ha,
доказывает теперь, согласно замечанию на стр. 41, особый случай теоремы Паскаля (стр. 37), и из него, в свою очередь, согласно стр. 41 — 42, следует ассоциативный закон умножения
а фс) = (ab) с.
Наконец, в нашем исчислении имеет место и дистрибутивный закон
а (Ь -\- с) = ab -\- ас.
44
Глава III. Учение о пропорциях.
Для доказательства строим отрезки ah, ас и п (Ь А- с) и проводим через конечную точку отрезка с (черт. 27) параллельную ко второй
стороне прямого угла. Конгруэнтность обоих заштрихованных на чертеже прямоугольных треугольников и применение теоремы о равенстве противоположных сторон параллелограмма дает желанное доказательство.
О b J с Ь'с Если b и с—два про-
Черт. 27. извольные отрезка, то
всегда существует отрезок а такой, что с = ah: этот отрезок а обозначается как ? и называется частным от деления с на Ь.
§ 16.
Пропорции и теоремы о подобии.
С помощью изложенного исчисления отрезков учение Евклида о пропорциях может быть строго обосновано без аксиомы Архимеда следующим образом: ¦
Пояснение. Если я, b,a',h' суть какие-либо четыре отрезка, то пропорция
a:b = a':h' '
не должна означать ничего другого, кроме равенства отрезков
пі/ = bo'.
Пояснение. Два треугольника называются подобными, если соответственные углы в них конгруэнтны.
Теорема 23. Если a, b и а', V — соответственные стороны в двух подобных треугольниках, то имеет место пропорция
§ 16. Пропорции и теоремы о подобии.
45
Доказательство. Рассматриваем сначала тот частный случай, когда в обоих треугольниках углы, заключенные между а, Ь и а', V.— прямые и воображаем, что оба треугольника включены в один и тот же прямой угол (черт. 28). Откладываем тогда от вершины на одной стороне отрезок 1 и проводим через конечную точку этого отрезка 1 параллельную к обеим гипотенузам; на второй стороне эта параллельная отсекает отрезок е; тогда по нашему определению произведения отрезков
следовательно
т. е.
Ъ = еа, 1/ = еа';
ab' = Ъа',
a:b = d:V.
Возвращаемся теперь к общему случаю. Строим (черт. 29)
в каждом из подобных треугольников точку пересечения Ни, соответственно, S' трех биссектрис, существование которых выводится легко из теоремы о равнобедренном треугольнике, и опускаем из этих точек три перпендикуляра г и, соответственно, ґ на стороны треугольника; образующиеся таким образом на этих сторонах отрезки Черт. 29. обозначим
и соответственно
«/,, Ьс, bu, со, сь а'а'.Ь'.Ь '.с'.с\
46
Глава III. Учение о пропорциях.
Ранее доказанный специальный случай нашей теоремы дает нам пропорции
ak:r = ab':r ^ bc:r=^b^:r' . ,
nc:r = ac':r' ba: г = !>/:r';
из коих, с помощью дистрибутивного закона, получаем
а : г = о': г , h;r= b': г'
и, следовательно, на основании коммутативного закона умножения, имеем
a:b = а': Ь'.
Из только что доказанной теоремы 23 легко выводим основную теорему учения о пропорциях, которая гласит:
Теорема 24. Если две параллельные прямые отсеканпп на сторонах произвольного уїла отрезки а, Ь и, соотв., а, Ь', то имеет место пропорция
а\Ь = а': V.
Обратно, если четыре отрезка а, Ь, а', Ь' удовлетворяют этой пропорции и а, а и Ь, Ъ' отложены соответственно на сторонах произвольного угла, то прямые, соединяющие конечные точки отрезков а, Ь и, соответственно, а', V. взаимно параллельны.
§ 17.
Уравнения прямых и плоскостей.
Присоединим к рассматриваемой нами до сих пор системе отрезков другую подобную же систему отрезков; отрезки новой системы отличим какою-либо меткою и назовем их „отрицательными", в отличие от рассматривавшихся раньше „положительных" отрезков. Если введем кроме того отрезок 0, то при надлежащих условиях в этом расширенном исчислении отрезков будут иметь место все правила счета для вещественных чисел, которые были даны в сводке в § 13. В особенности отметим следующие положения:
Всегда а. I — 1. а = а.
Если ab = O1 то или а —f 0 или Ь = 0.
Если а > Ь и с > 0, то всегда ас > Ьс.
%
§ 17. Уравнения прямых и плоскостей. 47
Черт. 30.
по тому положителен или отрицателен соответственно откладывае_ мый отрезок X или у; затем восставляем в конечных точках отрезков х, у перпендикуляры и определяем точку P пересечения этих перпендикуляров: отрезкиу называются координатами точки Р\ каждая точка плоскости о однозначно определяется координатами х, у, которые могут быть положительными или отрицательными отрезками или 0.
Пусть,./ есть какая-либо прямая в плоскости «, проходящая через О и через точку С с координатами а, Ъ. Если тогда хну координаты какой-либо точки прямой /, то легко находим, по теореме 23,
а : Ь = X : у
или
Ьх— ay = 0
как уравнение прямой I.
Если V есть прямая параллельная /, отсекающая на оси х-ов отрезок с, то мы получаем уравнение прямой V, заменяя в уравнении прямой I отрезок X отрезком X — с; искомое уравнение выразится тогда так
