Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(\ф-1, -2, ...) (1 + х*)\
(х*-1)х+ (1ф — \, — 2,...)
leX * ((г'(л+1)+/^Г(а+1)] (а+/0)-х-х-— Г (л -f 1) (о + /0)-х-1 In (а + /О) | +
+ le~l 2{|>(л + 1)_/|-Г(Л + l)Jx
X (<* — й)-х_1 —
Г (X + 1) (а — /0)-Х_1 In (а — 10) }
(2m) i д |2m-l_ ,,(27») , а |2яг-1
"0
Ш 1 а 1
id(2m+i)a2m sgn ff _ ^(2™+1)32т in I а I sgn а cfm+d^m, _ c(2r»+i)s2m )n | s | +
+ 1_ c(a^+i)52m,n2|a j
ш(2т)а2т-1 _ idgm)jm- Чп | a | +
+ |.г/(*»)ая«-11п«|а1 _ l
У*г(х+.!)(-?-) 2yx+i(a)
2У* /НГ-Т .
V(-X) \ 2 ) *-x-±(l
• Г(х + 1)У J^-
'Л/ , (U|)
X
X
Г(Х+1)У
;OS7c(x + -l)^ ,(|e|)_y ,(|e|)
sln
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 451
Обобщенная функция /
Преобразование Фурье Р [/]
42
1)№241+S)B(')+
+ (_!)»+»/«(.1)"
J г (о)
2. Функции нескольких переменных
X
Многочлен Р .....*п)
fx(r)
2 V
2x+n*2
(2ic)n 3 (а„ .... 2 \ <2 J
/_!_„ (Р) -СМ
Г 2 3
С, =2
В формулах 6—9 используется функция V 2 / с-\
Х+п,
(-4)
Х + п
__+с(п+2т) + cinM (у+п+т)+ ....
в правой части выписано ее лорановское разложение в окрестности точки Х= — п—1т. Кроме того,
2я
есть поверхность единичной сферы в n-мерном пространстве.
6
(Х#-я, -л-2,....) гх 1ц3 г
In г
ас
дх
L_n-X-n
+ СхР-х-п\п?
t^Xp-X-n+2^lp-X-nlap+Cxp-X-n ,„2 р
^п+ам^йи ,п р +в(п+ат)рЯм
Продолжение
452 Сводная таблица преобразований фурьё
а
с"
2 2
Обобщенная функция /
Преобразование Фурье F [/]
я п
10
5 (г-а) (л>1)
а а
и
То же при л = 3
sin ар 4тса-—
Р
12
f d \™o(r—a) \ada' a
i/-Tsinap «Г it р
Обозначения в дальнейших формулах 13—25 см. выше, в разделе
«Сводка основных определений и формул», стр. 436, nn. 1—2.
13
тс . П
«Т,*2»+».аг(х+-5-) -x-i
14
(Р — Ю)х
15
<(f+x).
-e (Q + гО) J
16
рХ_
_2n+sx7ca Г(Х+1)Г(Х + Л.)Х
Г ic П X U (Q— /0) -
ic . re n -e (Q-f-iO) J
Продолжение
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 453
Продолженае
2 2
Обобщенная функция /
Преобразование Фурье F [/]
2Х + ЧУ2Г)"С2
г (— х) У~д
17
(С2 -4- Р + Ю)к
+Х КП
+ х
с (О — гО) 2 J
(Q-iO)
ХН--+1 2 тс "в
21
2
q-кг
Г (- х) У\ь\
-X
18
(С"- + Р- Ю)к
г(-х) КТ
7-
7+х
1с (О+10) J
(Q + «"0)
: е с
Г (— x) У\ Д|
-X
454
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
Продолжение
2 2
Обобщенная функция /
19
Г +
Преобразование Фурье F [/]
п п . п 9X+I. Т-1 ?+х
2 т с
У|Д|
(Q-iO)
(*-4)
г 4]
Кп Lc(Q+<0) J
(Q + iO)-
4(^1)
, n n n
X+?+l ?-lT+A 2 тс с
* toCq+)
¦sln(x+i>—i /. пч +
4(x+f)
+ •
8ln(x+f),
x+—
+ sin
p«J~X- 2
я Col)
Q_
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 455
Проб олжение
Обобщенная функция /
Преобразование Фурье F [/]
20
21
(с' + Р).
Г (Х+1)
X (С + Р)
Я Л , Я ,
,Х+Т. 2-1 ?+х
2 tic с
Г \
i Кп Lc(Q-iO)
~~2~ 2
(Q-iO)
gin л_и , L 2 "2+Х
c(Q+iO) J
(Q + iO)
к »Cq+)
я я п ,
,х+т+1 т-1 Т+х
2 я с
VW
2
|(х+|) 2sin(x + f).
/ „ Cq_)
Х + 7Г
'2 ( Р\ ~Х~
sinir—1 / Яч +sin (х + т)я —г i(x+y)
(x+f)
(-i)s+
i_i_
У|Д|
n n . n
rsi-'rs
жгу
^„ Lc(Q-/0) .
(q-io)
«j« U(q+io) j
2 2
(q + 20)
456
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
Прод олжение
в 2
Обобщенная функция /
Преобразование Фурье F [/]
22
23
Г (5 + 1)
(с3 + Р)'1
24
Г(*+1)
25
Г (5+1)
(2icc)
Lc (Q_iO)"J
(Q-Ю)
- +
Кп Ь (Q + iQ) J
+ е
(Q + iO)
l_ / я
2
Й-О
л л , л
2 2
Ic (Q + iO)3.
(Q-/0)
+ (2*)'
п <-')"(f)
S
те = 0
(Q + Ю)
с ^2s-2to
2
+
4отот! (5-от)!
А 6 (ж),
ял < га j-2 тс С
qui Kyi
lc (Q-iO.
2
2 4 2
(Q-Ю)
c(Q+:o) J
— e
(Q + iO)
c \2s — 2m
(2»)n У--— iw 3(*).
4mml (s — m)\
ДОБАВЛЕНИЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОЛНОТЫ ПРОСТРАНСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Мы указывали в гл. I (§ 1, п. 8), что пространство обобщенных функций является полным относительно введенной там сходимости; иначе говоря, если последовательность функционалов fv /2, .... /„, ... такова, что для каждой основной функции ср существует предел числовой последовательности (/„, ср), то этот предел /(ср) = lim (/„, ср)
снова задает линейный непрерывный функционал на пространстве К. В настоящем Добавлении это предложение будет доказано.
Тот факт, что функционал /(ср) линеен, весьма прост:
