Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
• К § б гл. 1. Содержание nn. 1 и 3 взято из статьи И. М. Гель-фанда и 3. Я- Шапиро [16]. Результаты п. 1 близким методом получены Ф. Джоном [10], результаты п. 3 независимо и приблизительно одновременно найдены Р. Курантом и А. Лаксом [4]. Впервые формула общего решения гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами была дана Герглотцем [9] и И. Г. Петровским [19] для тех случаев, когда она могла быть выражена в классических терминах теории функций, т. е. для уравнений достаточно высокого порядка (т^> п + 1)- Гиперболические уравнения с постоянными коэффициентами были исследованы в важных работах Л. Гординга [7], с помощью метода Рисса, и Лерея [11], с помощью общего преобразования Лапласа. Пункт 2 написан В. А. БоровиковылГ по Собственным результатам [24].
К Добавлению 1. Содержание этого Добавления заимствовано из книги Л. Шварца [14].
К гл. II. Определение преобразования Фурье функций степенного роста, как обобщенных функций, принадлежит Л. Шварцу [14]. Другое определение аппарата преобразований Фурье таких функций имелось у С. Бохнера [1] и Т. Карлемана [3]. Приведенное в § 2 и § 3 определение преобразования Фурье функции произвольного порядка роста принадлежит И. М. Гельфанду и Г. Е. Шилову [17]. В статье [17] дано более общее определение, о котором будет идти речь в гл. Ill второго выпуска. Пространство Z было введено И. М. Гельфандом и Г. Е. Шиловым [17] (под обозначением Z1) "*), а также одновременно и независимо Б. Мальгран-жем [12] и Л. Эренпрейсом [5]. Текст § 2, п. 6 принадлежит Н. Я. Виленкину и 3. Я- Шапиро.
К § 1 гл. 111. Определение дифференциальных форм u>j(j^>0), функционала 6 (Р) и его производных принадлежит И. М. Гельфанду и 3. Я. Шапиро [16]. Форма ш0 введена впервые Ж. Лереем [11J. Пункт 9 заимствован из статьи 3. Я. Шапиро [23].
К § 2 гл. III. Изучение полюсов и вычетов квадратичной формы в степени А для случая, когда в квадратичной форме имеется не больше одного минуса, было проведено М. Риссом [13] н явилось у него основой для исследования решений волнового уравнения. Исследование квадратичной формы в общем случае для целей
*) Более подробное изложение методов, основанных на использовании пространства Z, и связей с аналитическими функционалами Фантаппи и работами Лерея составит содержание пятого выпуска.
462
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
теории представлений провели И. М. Гельфанд и М. И. Граев [15]. Фундаментальные решения ультрагиперболических уравнений /,ы=5 построены впервые И. Фурэ-Брюа [6]; в приведенной здесь форме они указаны 3. Я. Шапиро; для Lku = 5 публикуются здесь впервые. Пункты 1, 2 следуют работам М. Рисса [13] и И. М. Гельфанда и М. И. Граева [15]. Идея, положенная в основу пп. 3—10 — продолжение в комплексную область — принадлежит И. М. Гельфанду. Она изложена в п. 3. Результаты пп. 4—6 принадлежат И. М. Гельфанду и М. И. Граеву, а пп. 7—10 Н. Я. Виленкину, И. М. Гельфанду и 3. Я. Шапиро. Соответствующие пункты написаны авторами полученных результатов.
К § 3 гл. III. Результаты этого параграфа взяты в основном из статьи И. М. Гельфанда и 3. Я. Шапиро [16]. Пункт 6 написан В. А. Боровиковым.
К § 4 гл. III. Материал этого параграфа в основном взят из статьи И. М. Гельфанда и 3. Я. Шапиро [16]. М. В. Федорюк построил Я* для любого многочлена от двух переменных с одним нулем в начале координат.
К Добавлению. Приведенное в Добавлении доказательство полноты пространства /?' предложено М. С. Бродским.
БИБЛИОГРАФИЯ
[1] В осп пег S., Vorlesungen uber Fouriersche Integrale. Leipzig, 1932.
[2] Bureau F., Divergent integrals and partial differential equations, Comm. Pure Appl. Math. 8 (1955), 143 —202.
[3] С a r 1 e m a n Т., L'integral de Fourier et questions qui s'y rattachent. Uppsala, 1944.
[4] С о u r a n t R. and Lax A., Remarks on Cauchy's problem for hyperbolic partial differential equations with constant coefficients in several independent variables, Comm. Pure Appl. Math. 8 (1955), n° 4.
[5] Ehrenpreis L., Solution of some problems of division, Amer. J. Math. 76 (1954), № 4, 883—903.
6] F о u г ё s - В r u h a t Y., Solution elementaire d'equations ultra-hyperboliques, J. Math. Pures Appl. 35 (1956), n° 3, 277—288.
[7] G a r d i n g L., Linear hyperbolic partial differential equations with constant coefficients, Acta Math. 85 (1950), 1—62.
[8] H a d a m a r d J., Le probleme de Cauchy et les equations eux derivees partielles lineaires hyperboliques, Paris, 1932..
[9] H e r g 1 о t z O., Ober die Integration linearer, partieller Dif-ferentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, Ber. Verh. Sachs. Acad Wiss. Leipzig, Math.-Phys. K1-. vol. 78,1926, pp. 93—126,287—318; vol 80, 1928, pp. 60—144; Abh. Math. Sem. Univ. Gamburg, vol. 6, 1928, pp. 189—197.
[10] John F., Bestimmung einer Funktion aus ihren Integralen uber gewisse Mannigfaltigkeiten. Math. Annalen, vol. 100 (1934), 488—520; The fundamental solution of linear elliptic differential equations with analityc coefficients, Comm. pure and appl. math., vol. 3
