Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
/ + «2?а) = /„ (се^-г-ссасрг) = lim {/v (atfj+f^ (се2ср2)} ==
V ->» СО
= «i/ Ы + аг/Ы-
Существенно доказать непрерывность функционала /(ср). Пусть последовательность основных функций cpv стремится к нулю в пространстве К; мы должны показать, что /(pv)—> 0.
Допустим противное. Тогда, перейдя, если нужно, к некоторой подпоследовательности, можно считать, что |/(<pv)|^> >с>0.
Сходимость последовательности cpv к нулю в пространстве К означает, что все функции cpv (х) равны нулю вне ограниченной области и стремятся к нулю равномерно в Rn, так же как- и их производные любых порядков..Еще раз перейдя к подпоследовательности, можем полагать, что
I \<^r (* = 0, 1, .... v).
30 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. I
458
ДОБАВЛЕНИЕ
Положим i|)v=2vcpv; тогда функции ф„ также будут стремиться к нулю в пространстве Af, а в то же время /(ф,) —> оо.
Теперь будем строить некоторую подпоследовательность и некоторую подпоследовательность ф^ следующим образом.
Выберем сначала <Ь[ так» чтобы иметь |/(ф^)|> 1. Поскольку (/„, ф)—>-/(ф)> выберем дальше /[ так, чтобы иметь
(Л. Ф0>1-
Пусть /~ ф' (/=1, 2, v—1) построены. Возьмем в качестве фч элемент последовательности ф„ с настолько большим номером, что
КП. ?Ч)\<^ПГ (* = 0. 1.....v-1); (а)
|/(Ф0|>2|/(ФЭ|+я. (б)
Первое возможно, потому что функции ф„ стремятся к нулю в пространстве К, и, следовательно, для любой обобщенной функции /0 мы имеем (/0, ф„)—»-0. Второе возможно потому, что /(ф„)—> со. Так как (/v, ф)—>-/(ф), то выберем из последовательности /„ с таким расчетом,
чтобы иметь
к/;. t:)i>|i|(/:. (б')
Таким образом, построение ф^ и f'v можно продолжить неограниченно. Положим далее
оо
<T=2tV
По построению, ряд в правой части сходится в пространстве К и, следовательно, его сумма ф есть элемент К. Далее
V —1 оо
(/;. т)=2 (/;. «©+(/:. т:)+Дд/;. ад- •
добавление 459
2^
получаем
i(/:^)i>v-i,
т. е. при v —> со также (/^, ф)—*оо. Но это противоречит соотношению lim (/^, ф) = /(ф).
v->-co
Отсюда следует, что /(<р„)—»• 0, и непрерывность предельного функционала / доказана.
30*
Но в силу (б') и того, что
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
В этой книге затрагивались вопросы классического анализа, имеющие в большинстве своем достаточно длинную историю. Поэтому ссылки, которые мы приводим ниже, во многих случаях приблизительны или условны. Например, понятие регуляризации расходящихся интегралов мы связываем с именами Ж. Адамара и М. Рисса, хотя оно встречалось уже у Коши (при определении Г-функции вне области сходимости интеграла), и, несомненно, еще Эйлер пользовался в своих вычислениях близкими соображениями.
К § 1 гл. I. Понятие обобщенной функции, как функционала над некоторым пространством функций, было сформулировано С. Л. Соболевым [20]. В той форме, которую мы приводим, оно было предложено М. Шварцем [14].
К § 2 гл. 1. Содержание этого параграфа заимствовано в основном из книги Л. Шварца [14].
К § 3—4 гл. 1. Идея регуляризации расходящихся интегралов для применения к задачам дифференциальных уравнений восходит к Ж. Адамару [8]. М. Риссу [13] принадлежит общий метод регуляризации путем аналитического продолжения (см. также Л. Шварц [ 14]). Приведенный в этом параграфе материал является расширением и переработкой соответствующего материала из статьи И. М. Гель-фанда и 3. Я. Шапиро [16]. Новым по сравнению с этой статьей является введение и систематическое использование функционалов (х + ДО)* и (х — /0)*, а также постановка проблемы о канонической регуляризации и ее решение для функций одного переменного.
В классе функций двух (и более) переменных с особенностями не выше степенных проблема канонической регуляризации уже не разрешима; как обнаружили В. Грушин и Р. Исмагилов, даже
функциям а ^ (здесь а (х, у) — бесконечно дифференцируемая
функция) невозможно сопоставить функционалы так, чтобы выполнялись условия канонической регуляризации. В более узких классах функций нескольких переменных каноническая регуляризация возможна; В, Паламодов нашел несколько таких классов. Например, каноническая регуляризация возможна в классе функций а (х, у)
-=ri—— , если расстояние между корнями каждого из многочленов Р (х, у) г
Р (х, у), лежащими в верхней полуплоскости, и его корнями, лежа-
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
461
щими в нижней полуплоскости, остается в каждой ограниченной области на оси х больше положительной постоянной.
Задача о разложении дельта-функции на плоские волны (п. 11) в классической формулировке (вычисление значения функции в точке по известным интегралам этой функции по гиперплоскостям) была поставлена Радоном в 1917 г. и решена Ф. Джоном [10] и другими авторами; отметим по этому поводу заметку А. Хача-турова [22].
К § 5 гл. I. Содержание этого параграфа заимствовано в основном из книги Л. Шварца [14]. В разработке последних примеров п. 5 принимал участие Н. Я. Виленкин.
