Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Матрица этого вида носит название сопровождающей для полинома fit).
Предложение 4. Характеристический полином оператора si на циклическом подпространстве, порожденном вектором х, равен минимальному аннулятору вектора х.
Иными словами, нужно доказать, что характеристический полином матрицы, сопровождающей для полинома f(t), равен этому полиному. Это — нетрудная задача на вычисление определителей.
Характеристический полином матрицы, сопровождающей для полинома f(t), равен
t О
¦ 1 /
О -1
о о
О а
:ft-2
О
О
-1 t + a.
послед-
Для вычисления этого определителя прибавим к его первой строке вторую, умноженную на г, третью, умноженную на г2, нюю, умноженную на tk~x. Получим:
о fit)
A =
О о -1 t
О - 1
"ft-1
aft-2
о
о
-1 < + а,
= (-1)*+1Ш
— 1 t
О - 1
о
-1
= (_ d*+i( _!)*-> f(f) = f(t).
Предложение доказано.
Сопоставим это предложение с предложением I, получим, что характеристический полином оператора si (на всем пространстве) делится на минимальный аннулятор любого вектора и, следовательно, характеристический полином от оператора аннулирует все векторы пространства, т. е. является нулевым оператором. Тем самым мы снова доказали в терминах операторов теорему Гамильтона— К.эли, доказанную ранее в терминах матриц.
6. Минимальный полином оператора. Минимальным полиномом оператора Si, действующего в пространстве S, называется полиномом наименьшей степени, аннулирующий все векторы простран-
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
323
ства S, т. е. такой полином g (г) наименьшей степени, что g(si) = = 0. Обычным приемом деления с остатком легко убедиться в том, что если F(Si) = Q, то F(t) делится на минимальный полином. Поэтому минимальный полином является делителем характеристического.
Минимальный полином есть наименьшее общее кратное минимальных аннуляторов векторов базиса. Действительно, минимальный полином является кратным для всех таких аннуляторов и любое кратное аннуляторов векторов базиса аннулирует базисные векторы, а с ними и все векторы пространства.
Более общо, если пространство S есть сумма (не обязательно прямая сумма) инвариантных подпространств Pi.....Р«, то минимальный полином оператора ^ на 5 равен наименьшему общему кратному минимальных полиномов оператора si на подпространствах Pi, Pk- Действительно, минимальный полином Si на 5 делится на минимальный полином si на Р„ т. е. является кратным для всех минимальных полиномов подпространств P1, ...
Pk- Вместе с тем любое кратное этих полиномов, в частности, наименьшее общее кратное аннулирует все подпространства Pi.....Pk и их сумму S.
7. Разложение пространства с оператором в прямую сумму примарных подпространств. Пространство, в котором действует оператор, называется примарним, если минимальный полином оператора является степенью неприводимого полинома над основным полем. Цель настоящего пункта — доказать, что пространство можно разложить в прямую сумму инвариантных примарных подпространств. С этой целью докажем несколько вспомогательных предложений. В их формулировках будет всюду предполагаться, что векторы принадлежат пространству, в котором действует оператор si.
Предложение 5. Если вектор аннулируется двумя взаимно простыми полиномами, то он равен нулю.
Действительно, минимальный аннулятор такого вектора делит пару взаимно простых полиномов и, следовательно, равен 1, так что 1 аннулирует вектор, и сам вектор равен нулю.
Предложение 6. Если вектор г аннулируется полиномом SW = gi(t)g2(t)> разлагающимся в произведение двух взаимно простых полиномов gi{t) и gz(t), то вектор можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых ачнулируется полиномом gi (t), другой — полиномом gtit).
Доказательство. В силу взаимной і.ростотьі gt и g2 найдутся такие полиномы и и v, что Ug2-\- vgl = 1. Тогда u(si)g2(si) + v(si)gi(si) = &, и z = Sz = u(si)g2(si)z + + V(si)gi (si)z = Zi + z2. Вектор Zi = u(si)g2(si)z аннулируется полиномом gi(t), ибо gi (si)Zi = gi (si)u(si)g2(si)z = = u(si)gi(si)g2(si)z = 0. Аналогично, вектор Z2 = v(si)gi(si)z аннулируется полиномом g2(t).
324
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[гл. xii
Предложение 7. Если вектор z аннулируется полиномом. S(O = ^i(O ••• gk(t) при попарно взаимно простых сомножителях gi, gk, то z представляется в виде суммы k векторов, аннулирующихся, соответственно, полиномами gu ..., gk.
Доказывается тривиальным применением метода математической индукции, на основании предложения 6.
Предложение 8. Пусть минимальный полином оператора si (на всем пространстве) разлагается в произведение g(t) = — gi(t) ••¦ gk{t) попарно взаимно простых полиномов. Тогда пространство однозначно разлагается в прямую сумму инвариантных подпространств Р\, ..., Р<Л, на которых оператор s& имеет минимальные полиномы gi, .. - , gk.
Доказательство. Обозначим через P1- множество всех векторов, аннулируемых полиномом g;„ иными словами, P,=kergi(s&). Тогда Pi + ... + Pk = S, ибо любой вектор из S аннулируется полиномом g(t) и, в силу предложения 7, представляется в виде суммы векторов из Pi, Pk- Сумма Pi 4- ... + Р* прямая, ибо если вектор z принадлежит P1 и сумме Pi + ... 4- P,-_i 4- P1+I + • • ¦ ... -\- Pk остальных слагаемых подпространств, то z аннулируется парой взаимно простых полиномов gi(t) и gi(t) - - ¦ gi-i(t)gi+i(t) ... ... gk(t) и, следовательно, равен 0. Минимальный полином оператора $Ф на Pi есть gi(t) или его делитель, но собственным делителем не может быть, ибо g = gi ... gk есть наименьшее общее кратное минимальных полиномов оператора эФ на P1-.
