Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Однозначность разложения следует из того, что Рг есть множество всех векторов, аннулируемых ПОЛИНОМОМ gi.
Предложение доказано полностью.
Из предложения 8 сразу вытекает справедливость следующей теоремы:
Теорема 9. Пространство, в котором действует оператор, разлагается в прямую сумму примарных подпространств.
Достаточно применить предложение 8 к каноническому разложению g- = ф^і ... q>™k минимального полинома g на неприводимые множители.
Подпространство, состоящее из всех векторов, аннулируемых полиномом ф^«, назовем полным примарным подпространством,
соответствующим примарному делителю ф^; полинома g.
8. Разложение примарного пространства в прямую сумму циклических примарных подпространств.
Теорема 10. Примарное пространство может быть представлено в виде прямой суммы циклических примарных подпространств.
Доказательство. Применим метод математической индукции по размерности пространства. За базу для индукции можно принять примарные циклические пространства. Сделаем индуктивное предположение о том, что для примарных пространств, раз-
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
325
мерность которых меньше размерности рассматриваемого пространства 5, теорема верна.
Пусть минимальный полином равен фт. Тогда все элементы пространства аннулируются делителями этого полинома, т. е. степенями ф с показателями, не превосходящими т. При этом найдется элемент, аннулируемый полиномом фт и не аннулируемый полиномом фт_1, иначе все векторы аннулировались бы полиномом фт_1, что противоречит минимальности полинома фт. Пусть Ui — такой вектор и P1 — циклическое подпространство, порожденное вектором u\. Если Pi = 5, то теорема для пространства S доказана. Пусть Pi ф 5. Рассмотрим факторпространство SfPi. Его векторы, очевидно, аннулируются полиномом фт, так что 5/P1 примарно и имеет размерность, меньшую чем 5. Поэтому к 5/Pi можно применить индуктивное предположение. Пусть
SfPi = P2® ... Є P4 (черточки сверху букв обозначают, как обычно, что рассматриваются объекты, составляющие факторпростр_анство), й2, — векторы из 5/Рь порождающие P2, Pk, и фт2, ф"1*— аннуляторы векторов й2, ..., Ясно, что nit ^ т при всех /. Покажем, что в классах U2, ..., йк можно найти элементы «2, ..., Uk, минимальными аннуляторами которых будут те же фт2, фт*.
Действительно, пусть «2 — какой-либо вектор из W2. Тогда f^jSP,, так что (ртги2 = F (si) W1, где F — некоторый полином. Но фт аннулирует все векторы в 5, так что <рти2 = ^т~т^тш'2 = __фт-тг (sf)F {sf)ux = 0. Следовательно, полином фш_т'Р делится на фт, и поэтому F делится на ф"*2. Пусть F = <pm'Flt так что <pm»(sf)U2 = фт'(sf)Fx(M)Ux, откуда q>m2(sf)u2 = 0 при U2 = W2 — — P1(^)W1. Ясно, что W2 = W2, так что W2 є й2. Заметим, что полиномы аннулируют векторы W2 и U2 одновременно, так как их минимальные аннуляторы совпадают. Аналогичным образом выбираются W3, ..., Uk. Пусть P2, Р* — циклические подпространства, порожденные векторами W2, Uk. Так как F(si)U2 (=
F(Si)U2 и если Fi(si)u2 = F2(si)u2, то Fx(Si)U2 = F2(Si)U2 и обратно (здесь F, Fi, F2 — любые полиномы), векторы пространства P2 входят по одному во все классы, составляющие P2, и нулевой класс представляет нулевой вектор. Аналогичным образом обстоит дело с пространствами P3, Pk.
Сумма пространств Pi+ P2+ ... + Pk равна пространству 5, ибо любой вектор из 5 сравним по Px с вектором из P2 + ... + Pk. Сумма эта прямая, ибо если z, + z2 + ... + zk = 0 при Zt е Р{, то г2+ ... + гк = 0, откуда Z2, .... zh равны нулю, ибо 5/Pi есть прямая сумма P2, Pk- Но тогда Z2= ... = Zk = 0 и, наконец, Zi = 0. Теорема доказана.
9. Модули над кольцом главных идеалов. Читатель, вероятно, обратил внимание на сходство формулировок теорем 9 и 10 и их
326
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XII
аоказательств с теоремами теории конечных абелевых групп — теоремой о разложении конечной абелевой группы в прямую сумму примарных и теоремой о разложении примарной абелевой группы в прямую сумму примарных циклических подгрупп. Обе эти теории можно рассматривать как частные случаи более общей теории конечно порожденных Л-периодических модулей над кольцом главных идеалов Л.
Дадим некоторые относящиеся сюда определения. Пусть Л — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Модулем M над кольцом Л называется абелева группа, для элементов которой определено умножение на элементы Л, удовлетворяющее естественным требованиям:
Здесь а, осі, вгєЛ и х\, х2, хєнМ.
Модуль называется конечно порожденным, если существует конечное множество xi, ..., х*. єн такое, что все элементы из M представляются в виде CXiX1 + • • • + «Л при аи ..., а* єн Л. Модуль называется Л-периодическим, если для каждого хєнМ существует такое а єн Л, что ах = 0. Каждый элемент а, обладающий этим свойством, называется аннулятором элемента х. Множество аннуляторов образует идеал кольца Л и, если Л есть кольцо главных идеалов, идеал аннуляторов оказывается главным и порождающий его элемент играет роль минимального аннуля-тора — всякий другой аннулятор на него делится. Далее, существует аннулятор всего модуля, например произведение аннуляторов элементов Xi, ..., xk, порождающих М. Аннуляторы всего M снова образуют главный идеал, так что найдется минимальный в смысле делимости * аннулятор, играющий роль минимального полинома. Модуль называется примарным, если он аннулируется степенью простого элемента кольца Л. Ввиду того, что в кольце главных идеалов существует линейное представление наибольшего общего делителя, доказываются аналоги предложений 6, 7, 8 и теорема 9.