Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
e2k+i = (p2(s?)u, .... emk = sim-lq>k-l(si)u.
Если <p(r) =^ + 0,/*-1 + ... +аъ то
Siek = ek+i — aiek — a2ek-i — ¦¦¦ — акеи sie2k = e2k+i — аіе2к — a2e2k-i — ... — акек+і,
Siemk= -йівтк — а2Єтк-1- •¦• — Я*Є(т-П*-Н
и sid = при і, не делящемся на k.
В этом базисе матрица оператора si состоит из диагональных блоков, каждый из которых равен сопровождающей полином ф. матрице, «связанных» единичками, примыкающими снизу и слева
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
329
к соседним блокам. (Эти единички возникают из первых слагаемых в выражениях Мек, $&е2к, ¦¦¦, ^Є(т-і>* через базис.)
Если осуществить такой выбор базиса во всех примарных циклических пространствах, мы получим форму матрицы, которую назовем общей канонической формой. Она лучше грубой формы тем, что в ней участвуют сопровождающие матрицы для самих неприводимых полиномов, а не для их степеней.
Общая каноническая форма принимает особо простой вид в случае, если характеристический полином разлагается на линейные множители, так что минимальные полиномы примарных циклических слагаемых имеют вид (t — А)т.
В этом случае сопровождающая матрица для полинома t — А есть матрица первого порядка X, и каноническая матрица на при-марном циклическом пространстве имеет вид
Я
0
0 .
.. 0
0
1
X
0 .
. 0
0
0
1
я .
. 0
0
0
0
0 ..
. 1
я
Такая матрица называется каноническим блоком Жордана. Матрица оператора на всем пространстве примет вид блочно-диагональ-ной матрицы,' составленной из блоков Жордана. Такая матрица называется канонической матрицей Жордана.
Диагональные элементы канонических блоков являются корнями характеристического полинома, и каждый корень может входить в несколько блоков. Ясно, что кратность корня характеристического полинома равна сумме порядков блоков Жордана с этим корнем на диагонали.
В частности, если характеристический полином не имеет кратных корней, то порядки всех блоков Жордана равны 1 и каноническая матрица оператора принимает особо простой вид diag(Ai, X2, Xn), где Ai, X2, Xn — корни характеристического полинома.
Вместо общей канонической формы матрицы оператора на при-марном циклическом пространстве иногда оказывается удобной так называемая блочно-жорданова форма. В этой форме по диагонали расположены блоки из сопровождающей матрицы неприводимого полинома, но блоки «связаны» не единичками, как в общей форме, а единичными матрицами, например, матрица имеет вид:
г-і j-
Можно доказать, что если неприводимый полином ф сепарабе-лен, т. е. не имеет кратных корней ни в каком расширении основного поля, то матрица оператора на примарном циклическом про-
330
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ. XII
странстве с минимальным полиномом <рш может быть приведена к блочно-жордановой форме. Мы не будем это доказывать в столь общей ситуации. Но сепарабельность ср здесь существенна. Чтобы это продемонстрировать, рассмотрим пример. Пусть /C0 = GF(2) и К = К0(у). Полином q>(t) = t2— г/єн/([г], очевидно, неприводим в поле К, так как если бы он был приводим, то раскладывался бы и в кольце полиномов Ко [у, г], что не имеет места. Он не сепара-белен, ибо его производная равна нулю. Его сопровождающая
матрица есть ( 1J о )' ^ циклическом пространстве с минимальным полиномом ф2 общая каноническая форма есть
/ 0 у 0 0 \
1 0 0 0 1
0 1 0 у Г
0 0 10/
A =
а блочно-жорданова
B =
QyQQ 10 0 0 1 0 0 у 0 110
Нетрудно проверить, что над полем К не существует преобразования подобия, переводящего А в В. С этой целью следует рассмотреть систему шестнадцати линейных однородных уравнений с шестнадцатью неизвестными, именно, элементами матрицы С, такой что
AC = СВ.
Из рассмотрения этой системы нетрудно получить (учитывая, что характеристика поля К равна 2), что первые две строки матрицы С состоят из нулей, так что невырожденной матрицы, удовлетворяющей уравнению AC = CB, не существует.
Конечно, неприводимые несепарабельные полиномы могут существовать только над полями с ненулевой характеристикой. Для полей характеристики 0, в частности для числовых полей, неприводимых несепарабельных полиномов не существует.
12. Оператор проектирования. Пусть S = P © Q- Тогда любой вектор г єн 5 однозначно представляется в виде z = х + у при X єн P и у єн Q. Вектор X называется проекцией вектора г на P параллельно Q, вектор у, соответственно, — проекцией вектора г на Q параллельно Р. Если г = C\Z\ + c2z2, z = х + У, Zi= х, + уи г2 = х2 + у2, то z = (c{xi + C2X2)+ {суух + с2у2), так что х = = CiXi + с2х2. Переход от вектора г к вектору х называется оператором проектирования или проектором. Если г = CiZx + c2z2, то X = CiXi + C2X2. Поэтому оператор проектирования линеен. Далее, если X єн Р, то его разложение на векторы из P и Q есть х = х + 0. Следовательно, оператор проектирования действует на векторы из P как единичный оператор, а на векторы из Q — как нулевой.
S 51
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
331
Пусть st — оператор проектирования S на P параллельно Q. Тогда при любом г є S вектор stz принадлежит Р, так что st (stz) = stz. Таким.образом, оператор st2 — st аннулирует все векторы из S, и тем самым st2 — st = О, т. е. st2 = st.
