Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 129

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 168 >> Следующая


Модуль называется циклическим, если он порождается одним элементом. Аналог теоремы 10 о разложении примарного модуля в прямую сумму примарных циклических доказывается так же, как сама теорема 10, может только представить некоторое затруднение выбор объектов, по которым проводится индукция.

Конечные абелевы группы представляют собой конечно порожденные периодические модули для кольца Z целых чисел. Пространство с оператором можно рассматривать, как конечно порожденный периодический модуль над кольцом полиномов K[t],

(a, + a2) X a (X1 + X2) осі (а2х) 1-х

Ct1X + Ct2X1

aX| -f- ax2, (aia2)x,

x.

линейные операторы в векторном пространстве

327

с «умножением» вектора на F(t) по правилу (F(t))x = F(si)х. Как кольцо Z, так и кольцо К[t] являются кольцами главных идеалов.

10. Некоторые следствия.

Предложение 11. Характеристический полином оператора на примарном пространстве равен степени соответствующего неприводимого полинома с показателем, равным сумме' показателей в минимальных полиномах для циклических слагаемых.

Действительно, характеристический полином на прямой сумме инвариантных подпространств равен произведению характеристических полиномов на этих подпространствах. Примарное пространство разлагается в прямую сумму циклических подпространств, и на каждом циклическом подпространстве характеристический полином равен минимальному. Минимальный полином оператора на каждом примарном циклическом слагаемом есть степень неприводимого полинома, именно того, степенью которого является минимальный полином примарного пространства.

Предложение 12. Пусть S — пространство с оператором sill ф™іф™2 ... cpmk — каноническое разложение характеристического

полинома Si. Тогда примарные сомножители qpf і, q>m2, ..., фт*

12 ft

равны характеристическим полиномам оператора si на полных примарных прямых слагаемых.

Действительно, характеристический полином оператора 5 на всем пространстве равен произведению характеристических полиномов на полных примарных прямых слагаемых. Эти полиномы равны степеням неприводимых полиномов, различных для различных прямых слагаемых. Следовательно, произведение этих характеристических полиномов есть каноническое разложение характеристического полинома на всем пространстве.

Предложение 13. Инвариантные подпространства примарного циклического пространства S с характеристическим полиномом фт суть q>S, q>2S, ..., фт_15, составляющие убывающую цепочку

S :э ф5 =э 92S =) ... гэ qm-lS г> фт5 = 0.

Доказательство. Пусть и — вектор, порождающий S. Тогда все векторы из 5 имеют вид F(Sf) и, где F(t)—полиномы из K[t). Пусть P — инвариантное подпространство пространства S и V = F\(si)u — такой вектор из Р, для которого полином F\(t) делится на возможно меньшую степень полинома ф. Пусть эта степень равна фШ|, так что F1 (t) = <pm'F2(0> причем F2(t) не делится на ф. Полином F2(t) взаимно прост с фт, так что существуют такие полиномы p(t) и q(t), что F2P + Фт<7 == 1. Тогда p(si)v =» = р (Si)Fi (si)u = p (si) ym'(sf) F2(Sf)U = ^(Sf)(S — q(si)qm(sf))u=*

— фті (si) и, ибо фт (si) и = о:

і; Следовательно, cpm'(si)u принадлежит пространству P и порождает его, ибо полиномы F(t) для элементов из P делятся на

328

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

[гл. xii

Фт>. Таким образом, P = фт' (A)S при некотором nt\. Включения 5 zd ф5 zd92S zd ... zd (pm~lS zd фт5 = 0 тривиальны в силу инвариантности всех фШі (A)S.

Предложение 14. Примарное циклическое пространство неразложимо в сумму правильных инвариантных подпространств.

Действительно, если Pi и Po — два инвариантных подпространства, то одно из них содержится в другом, пусть P2(zz Pi и P2 + Pi = Pi Ф s.

Таким образом, разложение пространства в прямую сумму примарных циклических подпространств окончательное, полученные прямые слагаемые уже не разлагаются в прямую сумму инвариантных подпространств.

11. Каноническая форма матрицы оператора. Как мы видели выше, для упрощения матрицы оператора целесообразно разложить пространство в прямую сумму инвариантных подпространств и взять в качестве базиса объединение базисов прямых слагаемых. Тогда матрица примет блочно-диагональный вид с блоками, равными матрицам ограничений оператора на прямые слагаемые.

В качестве прямых слагаемых следует взять примарные циклические подпространства. Если в примарном циклическом пространстве с минимальным полиномом фт, где ф — неприводимый полином степени k, взять в качестве базиса и, siu, si2u, ..., simk~lu,. где и — порождающий пространство вектор, мы получим в качестве матрицы оператора матрицу, сопровождающую полином <рт. Если это сделать в каждом примарном циклическом, слагаемом, матрица оператора станет блочно-диагональной, состоящей из полиномов, сопровождающих минимальные полиномы примарных циклических слагаемых. Эту форму матрицы оператора назовем грубой канонической формой.

Более полно отражает строение примарного циклического пространства форма матрицы в базисе:

ei == и, е2 = si-u, ek = sik~lu,

ek+i = q>(si)u, ек+2 = siq>(si)и, e2k=sik-l(p(si)u,
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed