Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
d
dx
by dx = 0.
(6.2)
Все условия леммы выполнены: на кривой, реализующей экстремум, множитель (^y--jj^ j является непрерывной функцией, а вариация Oy является произвольной функцией, на которую наложены лишь предусмотренные в основной лемме ограничения общего характера, сле-
довательно, F,,
на кривой у = у (х), реализующей экстремум рассматриваемого функционала, т. е. у = у (х) является решением дифференциального уравнения второго порядка
d
dx F*
= 0,
или в развернутом виде
F
ху
Fyyy'
У'У
у" = 0.
Рис. 6.6.
Это уравнение называется уравнением Эйлера (оно впервые было им опубликовано в 1744 году). Интегральные кривые уравнения Эйлера у = у(х, C1, C2) называются экстремалями. Только на экстремалях может достигаться экстремум функционала
V [у (х)]= J F(x, у, y')dx.
Для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала (6.1), интегрируем уравнение Эйлера и определяем обе произвольные постоянные, входящие в общее решение этого уравнения, из условий на границе у(х0) = у0, у(х1) = у1. Только на удовлетворяющих этим условиям экстремалях может реализоваться экстремум функционала Однако для того чтобы установить, реализуется ли на них в действительности экстремум, и притом максимум или минимум, надо воспользоваться достаточными условиями экстремума, изложенными в главе 8.
298 метод вариации в задачах с неподвижными границами гтл. в
Напомним, что краевая задача
Г»—~Зх~ F*' ^0' у (хо) = у°- у==^1
не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным (см. стр. 159).
Заметим, что во многих вариационных задачах существование решения очевидно из физического или геометрического смысла задачи, и если решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям, единственно, то эта единственная экстремаль и будет решением рассматриваемой вариационной задачи.
Пример 1. На каких кривых может достигать экстремума функционал
я 2
« [У (*)] = / Ky')1-^dX-, у (0) = 0, у(у) = 1? о
Уравнение Эйлера имеет вид у" + у = 0; его общим решением является у = C1 cos X + C2 sin х. Используя граничные условия, получаем: C1 =* 0, C2 = 1; следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой у = sin X.
Пример 2. На каких кривых может достигать экстремума функционал і
»Iy(Jt)] = J \(.y'Y+\2xy\dx, у (0) = 0, у(1)=1?
о
Уравнение Эйлера имеет вид у" — Qx = 0, откуда у = х3 + C1X -\- C2- Используя граничные условия, получаем: C1 = 0, C2 = 0; следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой у = Xі.
В этих двух примерах уравнение Эйлера легко интегрировалось, но так бывает далеко не всегда, так как дифференциальные уравнения второго порядка интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случаях. Рассмотрим некоторые простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
1) F не зависит от у':
F = F(x, у).
Уравнение Эйлера имеет вид Fy(x, у) = 0, так как Fy1 = 0. Решение полученного конечного уравнения Fy(x, у) = 0 не содержит элементов произвола и поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям y(Jf0) = yo и у(*і) = Уі-
Следовательно, решение рассматриваемой вариационной задачи, вообще говоря, не существует. Лишь в исключительных случаях, когда кривая
Fy(x, у) = 0
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
299
проходит через граничные точки (х0, у0) и (X1, ^1), существует кривая, на которой может достигаться экстремум.
Пример 3.
Xi
V [у (X)] = J У2 dx; у (X0) = уо, Уравнение Эйлера имеет вид
Xc
У (X1)= У!.
Fy=O или у = 0.
Экстремаль у = 0 проходит через граничные точки только при у0 = 0 и Уі = 0 (рис. 6.7). Если Уо = 0 и у і = 0, то, очевидно, функция у = 0 реали-
зует минимум функционала v = J* у2 dx,
Рис. 6.7.
так как v [у (х)]^ 0, причем V = O при у = 0. Если же хотя бы одно из Уо и у! не равно нулю, то минимум функционала на непрерывных функциях не достигается, что и понятно, так как можно выбрать
последовательность непрерывных функций _
Уп (¦*)> графики которых состоят из все более и более круто спускающейся из точки (х0, Уо) к оси абсцисс дуги кривой, затем из отрезка оси абсцисс, почти совпадающего со всем отрезком (х0, X1), и, наконец, возле точки X1, круто поднимающейся к точке (X1, уі) дуги кривой (рис. 6.8). Очевидно, что на кривых такой последовательности значения функционала сколь угодно мало отличаются от нуля и, следовательно, нижняя грань значений функционала равна нулю, однако эта нижняя грань не может достигаться на непрерывной кривой, так как для любой непрерывной кривой у = у (х), отличной от то-
х,
ждественного нуля, интеграл j у2 dx > 0. Эта нижняя грань значений
Xo
функционала достигается на разрывной функции (рис. 6.9)
У (X0) = у0;
у (х) = 0 при X0 < X < X1, У(х,) = Уі.
2) Функция F линейно зависит от у':
F(x, у, у') = М(х, у) + TV(X1 у) у'; -
х,
V [У (X)}= f [M(X, у) +N(x, У)-Щах.
X,
300 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ (ГЛ. в
Уравнение Эйлера имеет вид дМ , oN
