Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
C1 = O, C2 = O, C3 = O, C4=I;
следовательно, у = sin х, г = — sin х.
Пример 2. Найти экстремали функционала
откуда, считая Fy,y,Fz,z, — (Fy,z,f Ф 0, получим: у* = 0 и z" = 0 или у = CiX-T-C2, 2= C3Jf-I-C4 — семейство прямых линий в пространстве.
Пример 3. Найти дифференциальные уравнения линий распространения света в оптически неоднородной среде, в которой скорость распространения света равна v (х, у, г).
2
Рис. 6.12.
20*
308 МЕТОД ВАРИАЦИЙ B ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 6
¦У
V (х, у, г)
Система уравнений Эйлера для этого функционала dv Vl + y' + z'2 , d у'
ду V2 1 dx лГ. . ,2 і
у _ »Уі + у -м
Vl + у'2 + г'2 .
,2
= 0
dz V2 1 dx і/, і ,2 ,
и будет системой, определяющей линии распространения света.
§ 4. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка
Исследуем на экстремум функционал
X1
«Iy(Jf)I = fF(x. у(х), у'(X).....y^(x))dx,
Xn
где функцию F будем считать дифференцируемой п-\-2 раза по всем аргументам и будем предполагать, что граничные условия имеют вид
Нхо)=у0- у'(хо) = уо..... у(в-1)(*о) = Уов-";
y(*j) = yj. у'(X1) = yj, .... yi"-V(x,) = y\"-\
т. е. в граничных точках заданы значения не только функции, но и ее, производных до порядка п—1 включительно. Предположим, что экстремум достигается на кривой у = у(х), дифференцируемой 2п раз, и пусть у = у(х)—уравнение некоторой кривой сравнения, также дифференцируемой 2п раз.
Рассмотрим однопараметрическое семейство функций
у (х, а) = у (х) -f- а [у (х) — у(х)] или у (х, а) = у (х) + абу.
При а = 0 у(х, а) = у(х), при а=1 у(х, а) = у(х). Если рассматривать значение функционала v [у (х)\ только на кривых семейства у = у (х, а), то функционал превратится в функцию параметра а, достигающую экстремума при а = 0; следовательно,
.^—х)[у(х, а)\\ , = 0. Эта производная в соответствии с § 1
Согласно принципу Ферми свет распространяется из одной точки А (х0, у0) в другую B(X1, у і) по кривой, для которой время T прохождения света будет наименьшим. Если уравнение искомой кривой у = у (х) и г = г (х), то
§ 4] ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ 309
называется вариацией функционала v и обозначается bv:
bv =
J-J F(x, у(х, а), у'(х, а).....у("> (х, a))dx
X0 J
Xx
= /(Fyby + Fy,by' + Frby"+ ... -4-Fyimby^)dx.
X,
Интегрируем по частям второе слагаемое в правой части один раз:
X0 X0
третье слагаемое — два раза:
X, Xx
f Frby"dx = \Frby')xxl-[~Frby^+f ^2- Fr by dx,
X0 0 X0
и т. д., последнее слагаемое — п раз:
Xx
f ^)бу-^ = [^бУ"->];-[^^(л!бУ"-)Г+ ...
X0 °
X,
¦¦¦ +(-»)"/^F^bydx.
Принимая во внимание граничные условия, в силу которых при X = X0 и при X = X1 вариации 6у=6у' = 6у"= ... =by<n~ 1^ = O1 окончательно получим
bv
•ч
-Л'
J-F ¦
dx Ґ>
-jfrFr+ ¦¦¦ +(-^-^FyJbydx.
Так как на кривой, реализующей экстремум, имеем
bv ¦¦
ЛХ
Л'-
d р
ахгУ
Al AtI
i^Fr+ ...+{-\)ni^Fy{n))bydx = 0
при произвольном выборе функции бу и так как первый множитель под знаком интеграла является непрерывной функцией х на той же кривой у = у (х), то в силу основной леммы первый множитель тождественно равен нулю:
310 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ.6
Итак, функция у = у(х), реализующая экстремум функционала
х,
V [у {X)} = f F(x, у. у', у",_____ yW)dx,
должна быть решением уравнения
Это дифференциальное уравнение порядка 2л носит название уравнения Эйлера—Пуассона, а его интегральные кривые называются экстремалями рассматриваемой вариационной задачи. Общее решение этого уравнения содержит 2« произвольных постоянных, которые могут быть, вообще говоря, определены из 2га граничных условий:
у(хо) = уо' у'(х0) = у0..... y(я-1)(*o)¦=^,oв-1,;
Пример 1. Найти экстремаль функционала
і
V [у (X)] = f(l+ у»2) ах;
о
у (0) = 0, у'(0)=1, у (1)=1. у'О)=!-
d2
Уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид "jxt (^у") ~ ^ или y'v = 0;ero
общим решением является у = С{х3 -f- C2X2 -j- C3X -f- C4. Используя граничные условия, получаем:
C1 = 0, C2 = 0, C3 =1, C4 = 0.
Итак, экстремум может достигаться лишь на прямой у = х. Пример 2. Определить экстремаль функционала
я 2
V [у (X)] = j (у"2 — у* + x2)dx, о
удовлетворяющую условиям
у (0)=1. у' (0) = 0, у (j-)= 0, у' (|) = -1.
Уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид yiv — у = 0; его общим решением является у = Ciex + С2е~х -f- C3 cos х-\-С4 sin х. Используя граничные условия, получаем C1 = 0, C2 = 0, C3 = 1, C4 = 0. Итак, экстремум может достигаться лишь на кривой у = cos х.
Пример 3. Определить экстремаль функционала
і
»[у (X)]= f {jliy"2 + 9y)dx, -I
§4] ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ 311
удовлетворяющую граничным условиям:
у (-/)=0, у'(-/) = 0, у (/) = 0, у' (/)=0.
К этой вариационной задаче сводится нахождение оси изогнутой упругой цилиндрической балки, заделанной на концах. Если балка однородна, то р и ц постоянны и уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид
