Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
ке
df = 0.
ционала, то при у = у0(х), bv = 0.
ф' (0) = 0*), или
*) а может принимать в окрестности точки а = 0 как положительные, так и отрицательные значения, так как ув(х) — внутренняя точка области определения функционала.
минимума во внутренней точ- или минимума при у = у0(х), ке х = хс области определе- где у(х) — внутренняя точка ния функции, то в этой точ- области определения функ-
$ ц вариация и ее свойства 291
= 0,
Gt=O
Итак, ~v[y(Xt а))
Z= 0, однако эта производная, вообще
а=0
говоря, уже не будет совпадать с вариацией функционала, но будет, как показано выше, обращаться в нуль' одновременно с bv на кривых, реализующих экстремум функционала.
Все определения этого параграфа и основная теорема (стр. 289) почти без всякого изменения переносятся на функционалы, зависящие от нескольких неизвестных функций
«ІУіОО. W.....У л Wl
или зависящие от одной или нескольких функций многих переменных
V[Z(X1, X2.....Xn)},
V[Z1(X1, X2, .... Xn), Z2(X1, X2, Xn).....2„,(X1, X2.....хп)Ь
Например, вариация bv функционала v[z(x, у)] может быть определена или как главная линейная по отношению к bz часть приращения
Av = V [z (х, у) -j- bz]—v[z(x, у)], или как производная по параметру при начальном значении
*) Предполагается, что а может принимать любые близкие к а = О зна-
Ov [у (X, а)] а и -Li-с± существует.
Gt = U
Oa
19*
торых V[у (х)] > VIy0(X)] (в случае минимума v[у(х)] < v\y0(x)]), а среди кривых у=у(х), близких только по ординатам, но уже не близких по направлению касательных, могут найтись и такие, для которых V [у (х)] > V [у0 (х)] (в случае минимума v [у (х)] < v [у0 (х)]). Различие между сильным и слабым экстремумом не будет иметь существенного значения при выводе основного необходимого условия экстремума, но оно будет весьма существенно в главе 8 при изучении достаточных условий экстремума.
Заметим еще, что если на кривой у = у0(х) достигается экстремум,
то не только -^- V Iy0 (х) -f- a Oy] = 0, но и ~ v [у (х, а)]
оа а=0 оа
где у (х, а) — любое семейство допустимых кривых, причем при о = 0 н при а=1 функция у(х, а) должна соответственно превращаться в у0(х) и у0(х) + 6у- Действительно, г»[у(х, а)] является функцией а, так как задание а определяет кривую семейства у = у (х, а), а значит, определяет и значение функционала v [у (х, а)].
Эта функция, по предположению, достигает экстремума при а = О, следовательно, производная этой функции обращается в нуль при а = 0 *).
292 метод вариации b задачах с неподвижными границами [ГЛ. в
параметра
¦^v[Z(X, y)-j--abz\
1Ci=o
причем если при z = z(x, у) функционал v достигает экстремума, то при z = z(x, у) вариация Of = 0, так как v[z(x, y)-4-abz] является функцией а, которая при а = 0, по предположению, достигает экстремума и, следовательно, производная от этой функции
по а при а = О обращается в нуль, -^v[z(x, y)-\-abz] =0
или ov = 0.
а=0
§ 2. Уравнение Эйлера
Исследуем на экстремум функционал
V [у (X)]= j F(x, у(х), y'(x))dx.
(6.1)
причем граничные точки допустимых кривых закреплены: у(х0) = у0 и у (X1) = у, (рис. 6.3). Функцию F(x, у, у') будем считать трижды дифференцируемой.
Мы уже знаем, что необходимым условием экстремума является обращение в нуль вариации функционала. Покажем теперь, как применяется эта основная теорема к рассматриваемому функционалу, причем мы еще раз повторим предыдущее рассуждение применительно к функционалу (6.1). Предположим, что экстремум достигается на дважды дифференцируемой кривой у = у (х) (требуя лишь существования производных первого порядка у допустимых кривых, можно иным методом доказать, что у кривой, реализующей экстремум, существует и вторая производная).
Возьмем какую-нибудь близкую к у = у(х) допустимую кривую у — у (х) и включим кривые у = у(х) и у = у(х) в однопараметри-ческое семейство кривых
у(х, а) = у- (х)+ а (у (X) — у(х));
при а = 0 получим кривую у = у (х), при а = 1 имеем у = у (х)
,У
.В
Bi
0
Рис. 6.3.
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
293
(рис. 6.4). Как мы уже знаем, разность у (X) — у(х) называется вариацией функции у(х) и обозначается oy.
Вариация Oy в вариационных задачах играет роль, аналогичную роли приращения независимого переменного Дх в задачах на исследование экстремумов функций /(х). Вариация функции oy=y(x)—у(х) является функцией х. Эту функцию можно дифференцировать один или несколько раз, причем (oy)'= у'(¦*)— у'(х) = Oy', т. е. производная вариации равна вариации производной, и аналогично
(бу)" = у" (X) — у" (X) = oy".
(oy)<*> == у<*> (X) — у<*> (х) = oy<*>.
Итак, рассмотрим семейство у = у (х, а), где у(х, а) = у(х)А-4-аоу, содержащее при а = 0 кривую, на которой достигается экстремум, а при а=1—некоторую близкую допустимую кривую — так называемую кривую сравнения.
Если рассматривать значения функционала
X,
v[y(x)\ = J F(X, у. y')dx
Xa
только на кривых семейства у = у (х, а), то функционал превращается в функцию а:
