Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
D
на границе области D функция z задана. Уравнение Остроградского в данном случае имеед вид
д2г . д2г л
"3^ + -^=/(* У),
или в краткой записи
bz = f(x, у).
Это уравнение, называемое уравнением Пуассона, также весьма часто встречается в задачах математической физики.
Пример 3. Задача о нахождении поверхности минимальной площади, натянутой на данный контур С, сводится к исследованию на минимум функционала
*[.«..*,-///, + (?)¦+(?)¦*,<,:
D
Уравнение Остроградского в данном случае имеет вид
JLi P X + M-J * I = Q
дх \ yi+f + q* f oy \ |Л+/>2 + ?2 I
или
Г I (О* У] о dz dz д2г д2г Г / дг \2] _ L ^ \ ду ) J дх ду дх ду ^ oy2 L ^ \дх ) J ~ '
д2г дх2
т. е. средняя кривизна в каждой точке равна нулю. Известно, что физической реализацией минимальных поверхностей являются мыльные пленки, натянутые на заданный контур С.
Для функционала
V [Z (X1, X2.....Xn)] =
~JJ -•Jf(Xv X2.....хп, z, pv р2.....pn)dxxdx2 ... dxn.
316 МЕТОД ВАРИАЦИЙ B ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 6
дх[ 1=1
которому должна удовлетворять функция
Zz=Z(X1, X2, .... Xn),
реализующая экстремум функционала v. Например, для функционала
-///[№'+№+№]<""•
D
уравнение Остроградского имеет вид
д2и , д2и д2и __п дх2 ду2 ' dz2 ~
Если подынтегральная функция функционала v зависит от производных более высокого порядка, то, применяя несколько раз преобразования, использованные при выводе уравнения Остроградского, в качестве необходимого условия экстремума получаем, что функция, реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению, аналогичному уравнению Эйлера—Пуассона (стр. 310).
Например, для функционала
і / м Г С с I дг дг д2г д2г д2г\. ,
V[Z(X, V)]Z=J J F[x, у, г, ж, w. ш. w w)dxdy
D
получим уравнение где
дг дг д2г д2г . д2г
Р ~~ дх ' q~~ ду ' Г~~ дх2 ' 'S~~ дхду '--ду
Этому уравнению четвертого порядка в частных производных должна удовлетворять функция, реализующая экстремум функционала V. Например, для функционала
-/Л(&)'+(?),+*(^)>'»
дг ,
где P1Z=-——, из основного необходимого условия экстремума
bv Z= 0 совершенно аналогично получим следующее уравнение Остроградского:
§6) ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ в ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 317
функция z, реализующая экстремум, должна удовлетворять так называемому бигармоническому уравнению
дх4 дх2 ду2 ^ ду4
которое обычно кратко записывается так: AAz = O. Для функционала
D
функция z (х, у), реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению АА2=/(х, у).
К бигармоническому уравнению приводят также задачи на экстремум функционала
D
или функционала более общего вида
^//т+т'-^-4^^-ш'}}^-
D
где [і— параметр.
§ 6. Вариационные задачи в параметрической форме
Во многих вариационных задачах решение удобнее искать в параметрическом виде. Например, в изопериметрической задаче (см. стр. 282) о нахождении замкнутой кривой заданной длины /, ограничивающей максимальную площадь S, неудобно искать решение в виде у = у (х), так как по самому смыслу задачи функция у(х) неоднозначна (рис. 6.14), поэтому в рассматриваемой задаче целесообразно искать решение в параметрической форме: х=х (t), у = у (t). Следовательно, в данном случае надо искать экстремум функционала
т
S [X(О, У (0] = j f (ху-ух) dt
о
T
при наличии условия I = j \/х2 + у2 dt, где I — постоянная, о
Пусть при исследовании на экстремум некоторого функционала
X1
vІУ WJ =¦ f F (•*. у, у') dx
318 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ГГЛ. б
Заметим, что полученная после преобразования переменных подынтегральная функция
F Ix«), у (г), 4?-) і (О V x(t)l
не содержит t явно и является по отношению к переменным X vi у однородной функцией первой степени однородности.
Таким образом, функционал v [х (t), у (t)] является не произвольным" функционалом вида
J* ф (t, X (t), у (t), к (О- У (г)) dt.
t,
зависящим от двух функций х (t) и у (t), а лишь весьма частным случаем такого функционала, так как его подынтегральная функция не содержит
явно t и однородна первой степени однородности по отношению • к переменным X и у".
Если бы мы перешли к какому-нибудь другому параметрическому представлению искомой кривой х=х (т), у — у (т), то функционал V \х, у] преобразовался бы к
виду f F (х, у, -4^- J кх dx. Следователь-
X І \ Xj
" но, подынтегральная функция функционала V не меняет своего вида при изменении параметрического представления кривой. Таким образом, функционал к зависит от вида кривой, а не от ее параметрического представления.
Нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения: если подынтегральная функция функционала
U
v [X (t), у (t)] = f Ф (*, X (t), у (t), к (0, у (*)) dt
Рис. 6.14.
не содержит t явно и является однородной функцией первой степени однородности относительно X и у, то функционал v [х (t), у (t)] зависит лишь от вида кривой х = х (t), у = у (t), а не от ее параметрического представления. Действительно, пусть