Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Эльсгольц Л.Э. -> "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление " -> 99

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление — Наука, 1969. — 425 c.
Скачать (прямая ссылка): differencialnie-urovneniya.djvu
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 131 >> Следующая


D

на границе области D функция z задана. Уравнение Остроградского в данном случае имеед вид

д2г . д2г л

"3^ + -^=/(* У),

или в краткой записи

bz = f(x, у).

Это уравнение, называемое уравнением Пуассона, также весьма часто встречается в задачах математической физики.

Пример 3. Задача о нахождении поверхности минимальной площади, натянутой на данный контур С, сводится к исследованию на минимум функционала

*[.«..*,-///, + (?)¦+(?)¦*,<,:

D

Уравнение Остроградского в данном случае имеет вид

JLi P X + M-J * I = Q

дх \ yi+f + q* f oy \ |Л+/>2 + ?2 I

или

Г I (О* У] о dz dz д2г д2г Г / дг \2] _ L ^ \ ду ) J дх ду дх ду ^ oy2 L ^ \дх ) J ~ '

д2г дх2

т. е. средняя кривизна в каждой точке равна нулю. Известно, что физической реализацией минимальных поверхностей являются мыльные пленки, натянутые на заданный контур С.

Для функционала

V [Z (X1, X2.....Xn)] =

~JJ -•Jf(Xv X2.....хп, z, pv р2.....pn)dxxdx2 ... dxn.

316 МЕТОД ВАРИАЦИЙ B ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 6

дх[ 1=1

которому должна удовлетворять функция

Zz=Z(X1, X2, .... Xn),

реализующая экстремум функционала v. Например, для функционала

-///[№'+№+№]<""•

D

уравнение Остроградского имеет вид

д2и , д2и д2и __п дх2 ду2 ' dz2 ~

Если подынтегральная функция функционала v зависит от производных более высокого порядка, то, применяя несколько раз преобразования, использованные при выводе уравнения Остроградского, в качестве необходимого условия экстремума получаем, что функция, реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению, аналогичному уравнению Эйлера—Пуассона (стр. 310).

Например, для функционала

і / м Г С с I дг дг д2г д2г д2г\. ,

V[Z(X, V)]Z=J J F[x, у, г, ж, w. ш. w w)dxdy

D

получим уравнение где

дг дг д2г д2г . д2г

Р ~~ дх ' q~~ ду ' Г~~ дх2 ' 'S~~ дхду '--ду

Этому уравнению четвертого порядка в частных производных должна удовлетворять функция, реализующая экстремум функционала V. Например, для функционала

-/Л(&)'+(?),+*(^)>'»

дг ,

где P1Z=-——, из основного необходимого условия экстремума

bv Z= 0 совершенно аналогично получим следующее уравнение Остроградского:

§6) ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ в ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 317

функция z, реализующая экстремум, должна удовлетворять так называемому бигармоническому уравнению

дх4 дх2 ду2 ^ ду4

которое обычно кратко записывается так: AAz = O. Для функционала

D

функция z (х, у), реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению АА2=/(х, у).

К бигармоническому уравнению приводят также задачи на экстремум функционала

D

или функционала более общего вида

^//т+т'-^-4^^-ш'}}^-

D

где [і— параметр.

§ 6. Вариационные задачи в параметрической форме

Во многих вариационных задачах решение удобнее искать в параметрическом виде. Например, в изопериметрической задаче (см. стр. 282) о нахождении замкнутой кривой заданной длины /, ограничивающей максимальную площадь S, неудобно искать решение в виде у = у (х), так как по самому смыслу задачи функция у(х) неоднозначна (рис. 6.14), поэтому в рассматриваемой задаче целесообразно искать решение в параметрической форме: х=х (t), у = у (t). Следовательно, в данном случае надо искать экстремум функционала

т

S [X(О, У (0] = j f (ху-ух) dt

о

T

при наличии условия I = j \/х2 + у2 dt, где I — постоянная, о

Пусть при исследовании на экстремум некоторого функционала

X1

vІУ WJ =¦ f F (•*. у, у') dx

318 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ГГЛ. б

Заметим, что полученная после преобразования переменных подынтегральная функция

F Ix«), у (г), 4?-) і (О V x(t)l

не содержит t явно и является по отношению к переменным X vi у однородной функцией первой степени однородности.

Таким образом, функционал v [х (t), у (t)] является не произвольным" функционалом вида

J* ф (t, X (t), у (t), к (О- У (г)) dt.

t,

зависящим от двух функций х (t) и у (t), а лишь весьма частным случаем такого функционала, так как его подынтегральная функция не содержит

явно t и однородна первой степени однородности по отношению • к переменным X и у".

Если бы мы перешли к какому-нибудь другому параметрическому представлению искомой кривой х=х (т), у — у (т), то функционал V \х, у] преобразовался бы к

виду f F (х, у, -4^- J кх dx. Следователь-

X І \ Xj

" но, подынтегральная функция функционала V не меняет своего вида при изменении параметрического представления кривой. Таким образом, функционал к зависит от вида кривой, а не от ее параметрического представления.

Нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения: если подынтегральная функция функционала

U

v [X (t), у (t)] = f Ф (*, X (t), у (t), к (0, у (*)) dt

Рис. 6.14.

не содержит t явно и является однородной функцией первой степени однородности относительно X и у, то функционал v [х (t), у (t)] зависит лишь от вида кривой х = х (t), у = у (t), а не от ее параметрического представления. Действительно, пусть
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed