Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Эльсгольц Л.Э. -> "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление " -> 95

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление — Наука, 1969. — 425 c.
Скачать (прямая ссылка): differencialnie-urovneniya.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 131 >> Следующая


или

или

дМ

1 oy

oN

ду

ду

дМ ду

dx

oN дх

oN

rix

N(x, у) = О,

dN ду

0;

у' = 0.

но это опять, как и в предыдущем случае, конечное, а не диффе-ренциальное уравнение. Кривая —^1---~ — вообще говоря, не

ду

дх

х,

Рис. 6.8. Рис. 6.9.

удовлетворяет граничным условиям, следовательно, вариационная задача, как правило, не имеет решения в классе непрерывных функций.

Если же --== 0, то выражение Mdx-\-Ndy является точным дифференциалом и

X1 Xx

V= J [м +N^Lyx= f (MdXA7Ndy)

X0 X

не зависит от пути интегрирования, значение функционала v постоянно на допустимых кривых. Вариационная задача теряет смысл.

П р и м е р 4.

і

v [У (X)) = f (у2 + х*у') dx; у (0) = 0, у (1) = а.

о

w -,к OMdNn „ „

Уравнение Эйлера имеет вид ---= 0 или у — х = 0. Первое граничное условие у (0) = 0 удовлетворяется, но второе граничное условие удовлетворяется лишь при я = 1. Если же а == 1, то экстремали, удовлетворяющей граничным условиям, не существует.

§ 2] УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА 301

Пример 5.

0IyWl= j(y + xy')dx или v[y (X)J = J(у dx-\ xdy);

У(*о) = Уо. У(*і) = Уі-

Уравнение Эйлера превращается в тождество 1 =э 1. Подынтегральное выражение является точным дифференциалом, и интеграл не зависит от пути интегрирования:

V [У {х)] = Jd (ху) = х,у, — х0у0,

Xo

по какой бы кривой мы ни интегрировали. Вариационная задача не имеет смысла.

3) F зависит лишь от у':

F = F (у').

Уравнение Эйлера имеет вид /у у' У" = 0, так как Fy = F ху = = Fyy' ==0. Отсюда у" = 0 или /уу. =0. Если у" = 0, то у = = C1jc -f- C2 — двухпараметрическое семейство прямых линий. Если же уравнение /у у' (уО — 0 имеет один или несколько действительных корней у' = kt, то у = A(-jcС, и мы получаем однопараметрическое семейство прямых, содержащееся в полученном выше двухпарамет-рическом семействе у = C1jc -)- C2. Таким образом, в случае F = F (у') экстремалями являются всевозможные прямые линии у = C1jc -f- C2.

Пример 6. Длина дуги кривой

ІІУ (де)]= J /l + У'2 А*

имеет экстремалями прямые линии у = CiJC-I-C2.

Пример 7. Время /[y(jc)], затрачиваемое на перемещение по некоторой кривой у •^y(Jc) из точки А(х0, у0) в точку В (X1, у,), если скорость

=. V (у') зависит только от у', является функционалом вида

Х\

'[У W]= / Vll,f dx

X0

as _ dt_ ds _У\+у>Чх. ' Vl+у'

dt ~v{y >• dt-V(Ty- w(y') ' ,/ w(y') ax

X0

Следовательно, экстремалями этого функционала являются прямые линии. 4) F зависит лишь от jc и у':

F = F(X, у').

302 метод вариаций B задачах С неподвижными границами [гл. в •

Уравнение Эйлера приобретает вид -— Fy (х, у') = 0 и, следовательно, имеет первый интеграл. Fy (х, у') = C1, причем так как полученное уравнение первого порядка Fy (х, у') = C1 не содержит у, то уравнение может быть проинтегрировано или путем непосредственного разрешения относительно у' и интегрирования, или путем введения подходящим образом выбранного параметра (см. стр. 69).

Пример 8. Функционал

Xi г-_

(t — время, затрачиваемое на перемещение по кривой у = у (х) из одной

ds

точки в другую, если скорость движения V = х, так как если -^- = х, то

Xx__ \

dt = иі= j* —— ^x J. Первый интеграл уравнения Эйлера

F , = C1 имеет вид - У = C1. Это уравнение проще всего инте-

хУ\+ у'2

грируется, если ввести параметр, полагая у' = tg t; тогда х ~ ~г--г = -я- sin *

с, Yi+ ул Ci

или X=C1 sin t, где C1 = ;

1

,где о, = -

¦^j = tgt; dy = tgtdx=tgt-C1 cos tdt = C1 sin t dt;

интегрируя, получаем у = — C1 cos t-\- C2. Итак,

X = C1 sin t, у — C2 = — C1 cos /

или, исключая t, получаем х2 -4- (у — C2)2 = C1 — семейство окружностей с центрами на оси ординат.

5) F зависит лишь от у и у':

F = F (у, у').

Уравнение Эйлера имеет вид: Fy—Fyyy'— /уу,у" = 0, так как Fxy' = 0. Если умножить почленно это уравнение на у', то, как нетрудно проверить, левая часть превращается в точную производную

¦Ь (Г-У* у). . -

УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА

303

Действительно,

dx

(F - у'Fy) = Fyy' + Fyу" - у"Fy - Fvy.y'2 - Fyyy'y" =

= у' (Fy-Fyy у'

Следовательно, уравнение Эйлера имеет первый интеграл

F- у'Fy= C1,

У У

у")-

причем так как это уравнение первого порядка не содержит явно х, то оно может быть проинтегрировано путем разрешения относительно у' и разделения переменных или путем введения параметра.

У



в






Г р

X






Рис. 6.10.

Пример 9. Задача о наименьшей поверхности вращения: определить кривую с заданными граничными точками, от вращения которой вокруг оси абсцисс образуется поверхность наименьшей площади (рис. 6.10).

Как известно, площадь поверхности вращения

6' [у (л-)] = 2л J у Y\ + у'2 dx.

Подынтегральная функция зависит лишь от у и у' и, следовательно, первый интеграл уравнения Эйлера будет иметь вид

У'F у = Ci

или в да нио,

м случае у ]/l -\-у'2
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed