Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
или
или
дМ
1 oy
oN
ду
ду
дМ ду
dx
oN дх
oN
rix
N(x, у) = О,
dN ду
0;
у' = 0.
но это опять, как и в предыдущем случае, конечное, а не диффе-ренциальное уравнение. Кривая —^1---~ — вообще говоря, не
ду
дх
х,
Рис. 6.8. Рис. 6.9.
удовлетворяет граничным условиям, следовательно, вариационная задача, как правило, не имеет решения в классе непрерывных функций.
Если же --== 0, то выражение Mdx-\-Ndy является точным дифференциалом и
X1 Xx
V= J [м +N^Lyx= f (MdXA7Ndy)
X0 X
не зависит от пути интегрирования, значение функционала v постоянно на допустимых кривых. Вариационная задача теряет смысл.
П р и м е р 4.
і
v [У (X)) = f (у2 + х*у') dx; у (0) = 0, у (1) = а.
о
w -,к OMdNn „ „
Уравнение Эйлера имеет вид ---= 0 или у — х = 0. Первое граничное условие у (0) = 0 удовлетворяется, но второе граничное условие удовлетворяется лишь при я = 1. Если же а == 1, то экстремали, удовлетворяющей граничным условиям, не существует.
§ 2] УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА 301
Пример 5.
0IyWl= j(y + xy')dx или v[y (X)J = J(у dx-\ xdy);
У(*о) = Уо. У(*і) = Уі-
Уравнение Эйлера превращается в тождество 1 =э 1. Подынтегральное выражение является точным дифференциалом, и интеграл не зависит от пути интегрирования:
V [У {х)] = Jd (ху) = х,у, — х0у0,
Xo
по какой бы кривой мы ни интегрировали. Вариационная задача не имеет смысла.
3) F зависит лишь от у':
F = F (у').
Уравнение Эйлера имеет вид /у у' У" = 0, так как Fy = F ху = = Fyy' ==0. Отсюда у" = 0 или /уу. =0. Если у" = 0, то у = = C1jc -f- C2 — двухпараметрическое семейство прямых линий. Если же уравнение /у у' (уО — 0 имеет один или несколько действительных корней у' = kt, то у = A(-jcС, и мы получаем однопараметрическое семейство прямых, содержащееся в полученном выше двухпарамет-рическом семействе у = C1jc -)- C2. Таким образом, в случае F = F (у') экстремалями являются всевозможные прямые линии у = C1jc -f- C2.
Пример 6. Длина дуги кривой
ІІУ (де)]= J /l + У'2 А*
имеет экстремалями прямые линии у = CiJC-I-C2.
Пример 7. Время /[y(jc)], затрачиваемое на перемещение по некоторой кривой у •^y(Jc) из точки А(х0, у0) в точку В (X1, у,), если скорость
=. V (у') зависит только от у', является функционалом вида
Х\
'[У W]= / Vll,f dx
X0
as _ dt_ ds _У\+у>Чх. ' Vl+у'
dt ~v{y >• dt-V(Ty- w(y') ' ,/ w(y') ax
X0
Следовательно, экстремалями этого функционала являются прямые линии. 4) F зависит лишь от jc и у':
F = F(X, у').
302 метод вариаций B задачах С неподвижными границами [гл. в •
Уравнение Эйлера приобретает вид -— Fy (х, у') = 0 и, следовательно, имеет первый интеграл. Fy (х, у') = C1, причем так как полученное уравнение первого порядка Fy (х, у') = C1 не содержит у, то уравнение может быть проинтегрировано или путем непосредственного разрешения относительно у' и интегрирования, или путем введения подходящим образом выбранного параметра (см. стр. 69).
Пример 8. Функционал
Xi г-_
(t — время, затрачиваемое на перемещение по кривой у = у (х) из одной
ds
точки в другую, если скорость движения V = х, так как если -^- = х, то
Xx__ \
dt = иі= j* —— ^x J. Первый интеграл уравнения Эйлера
F , = C1 имеет вид - У = C1. Это уравнение проще всего инте-
хУ\+ у'2
грируется, если ввести параметр, полагая у' = tg t; тогда х ~ ~г--г = -я- sin *
с, Yi+ ул Ci
или X=C1 sin t, где C1 = ;
1
,где о, = -
¦^j = tgt; dy = tgtdx=tgt-C1 cos tdt = C1 sin t dt;
интегрируя, получаем у = — C1 cos t-\- C2. Итак,
X = C1 sin t, у — C2 = — C1 cos /
или, исключая t, получаем х2 -4- (у — C2)2 = C1 — семейство окружностей с центрами на оси ординат.
5) F зависит лишь от у и у':
F = F (у, у').
Уравнение Эйлера имеет вид: Fy—Fyyy'— /уу,у" = 0, так как Fxy' = 0. Если умножить почленно это уравнение на у', то, как нетрудно проверить, левая часть превращается в точную производную
¦Ь (Г-У* у). . -
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
303
Действительно,
dx
(F - у'Fy) = Fyy' + Fyу" - у"Fy - Fvy.y'2 - Fyyy'y" =
= у' (Fy-Fyy у'
Следовательно, уравнение Эйлера имеет первый интеграл
F- у'Fy= C1,
У У
у")-
причем так как это уравнение первого порядка не содержит явно х, то оно может быть проинтегрировано путем разрешения относительно у' и разделения переменных или путем введения параметра.
У
в
Г р
X
Рис. 6.10.
Пример 9. Задача о наименьшей поверхности вращения: определить кривую с заданными граничными точками, от вращения которой вокруг оси абсцисс образуется поверхность наименьшей площади (рис. 6.10).
Как известно, площадь поверхности вращения
6' [у (л-)] = 2л J у Y\ + у'2 dx.
Подынтегральная функция зависит лишь от у и у' и, следовательно, первый интеграл уравнения Эйлера будет иметь вид
У'F у = Ci
или в да нио,
м случае у ]/l -\-у'2