Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
"о [у (х)] = JF(x,y,y')dx
Xa
из-за наличия в подынтегральной функции аргумента у' лишь в исключительных случаях будут непрерывными. Поэтому во многих случаях более естественно считать близкими только те кривые, которые близки по ординатам и по направлениям касательных в соответствующих точках, т. е. требовать, чтобы для близких кривых не только модуль разности у (х) — yj (х) был бы мал, но, кроме того, был бы мал и модуль разности у' (х) — у'х (х).
Иногда же оказывается необходимым считать близкими только те функции, для которых малы модули каждой из разностей:
У (х) — У, (х), у' (X) — yj (х), У" (X) -у'; (X).....yW(x)—yW(x).
В связи с этим приходится ввести следующие определения близости кривых у = у(х) и у ^y1(X).
Кривые у = у(х) и у = ух(х) близки в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности у (х) — Уі(х) мал.
лагается, что у (х) меняется произвольно в некотором классе функций.
3. Функционал v[y(x)] называется непрерывным, если малому изменению у (х) соответствует малое изменение функционала v\y (X)].
ное, то дифференциал х совпадает с приращением dx == Ах.
3. Функция /(х) называется непрерывной, если малому изменению X соответствует малое изменение функции /(х).
286 метод вариаций b задачах g неподвижными границами |гл. в
У*Ч*)— у\":(х)
малы.
На рис. 6.1 изображены кривые, близкие в смысле близости нулевого порядка, но не близкие в смысле близости первого порядка,
Рис. 6.1.
Рис. 6.2.
так как ординаты у них близки, а направления касательных не близки. На рис. 6.2 изображены кривые, близкие в смысле близости первого порядка.
Из этих определений следует, что если кривые близки в смысле близости /fe-го порядка, то они тем более близки в смысле близости любого меньшего порядка.
Теперь мы можем уточнить понятие непрерывности функционала.
3'. Функция f (х) непрерывна при X = х0, если для любого положительного 8 можно подобрать 5> 0 такое, что |/(х) — — /(*о)1<8 ПРИ \х — х0\<Ь.
3'. Функционал v [у (х)\ непрерывен при у = у0(х) в смысле близости k-ro порядка, если для любого положительного е можно подобрать O > 0 такое, что
\v[y(x)\ - «Iy0 (.*.)] |< в
Кривые у Z= у (X) и у==Уі(х) близки в смысле близости первого порядка, если модули разностей у (х) — ух(х) и у' (х) — у[ (х) малы-Кривые
у = у(X) и у = у,(х)
близки в смысле близости k-го порядка, если модули разностей
у (X)— у,(х), У'(х)—у\(х),
§ 1) ВАРИАЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА 287
|у'*'(х) — У[*'(Л')| < б.
При этом подразумевается, что функция у (х) берется из класса функций, на котором функционал V [у (х)] определен.
Можно было бы определить понятие расстояния p(yv у2) между кривыми y = yj(x) и у = у2(х) (X0 <; X X1), и тогда близкими кривыми считать кривые, расстояние между которыми мало.
Если считать
Р(Уі. У2) = тах \Уі(х)—У2(х)\,
ха X X1
т. е. ввести метрику пространства C0 (см. стр. 50), то мы приходим к понятию близости нулевого порядка. Если считать
P(Уч- У2)=Е max \у\р)(х)-у2рЧх)\
р=\Хц<Х< X1
(предполагается, что ух и у2 имеют непрерывные производные до порядка k включительно), то близость кривых понимается в смысле близости k-ro порядка.
4. Линейной функцией называется функция / (х), удовлетворяющая следующим условиям:
I (сх) = сі (х), где с — произвольная постоянная, и 1(X1 + X2) = 1 (X1) -f- /(X2).
Линейная функция одной переменной имеет вид
I (X) Z= kx, где k — постоянная.
4. Линейным функционалом называется функционал Z.[y(x)], удовлетворяющий следующим условиям:
L[cy (x)] = cL [у (х)],
где с — произвольная постоянная и L[yl(x)-iry2(x)\ =
= ЦУі (X)] + L[y2 (X)].
Примером линейного функционала является
L[y(x)]= J (p(x)y+q(x)y')dx>
При этом подразумевается, что при х принимает значения, в которых \у (х) — y0(v)| < 6
функция / (X) определена. |у {х) _ у, {х), < fi"
288 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 6
5. Если приращение функции
Д/ = /(х + Дх)-/(х)
может быть представлено в виде
Af = А (х) Ax + ? (х, Ax) • Ax1
і*де А (х) не зависит от Ах, а ?(x, Ax) -> 0 при Ах->0, то функция называется дифференцируемой, а линейная по отношению к Ax часть приращени*—А(х)Ах называется дифференциалом функции и обозначается df. Разделив на Ax и переходя к пределу при Ах->0, получим, что А(х) = = /'(х), и, следовательно,
df = f (х) Ах.
5. Если приращение функционала
Av = V [у (X) Ar Oy] — V [у (х)] можно представить в виде Av = L\y(х), 6у] +
4-P(J1W. 6у) max 16у |,
где L[y(x), Oy] •- линейный по отношению к Oy функционал, max Ioy I - максимальное значение I oy I и ?(y(x), oy)->0 при max|6y|->0, то линейная по отношению к бу часть приращения функционала, т. е. L [у (х), Ьу], называется вариацией функционала и обозначается bv.
Итак, вариация функционала — это главная, линейная по отношению к Ьу, часть приращения функционала.
При исследовании функционалов вариация играет такую же роль, какую играет дифференциал при исследовании функций.
