Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
УУ
V\ + У'2
После упрощений получаем
= Ci- Проще всего это уравне-
ние интегрируется подстановкой у' = sh t, тогда у = C1 ch t, а dy C,sh/d/
dx ¦¦
C1 dt; x=C1Z-t-Cj.
304 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. в
< [у U)]-у= J V JJ dx; у (0) = 0, у (X1)= у,.
Так как этот функционал также принадлежит к простейшему виду и его подынтегральная функция не содержит явно х, то уравнение Эйлера имеет первый интеграл F — y'Fy, =•• С, или в данном случае
Vl+У2 у'2
Yy /уО + у'2)
с,
откуда после упрощений будем иметь — * — = С или у (1 Л- у'2) = Cx.
VyU 4-у'2)
Введем параметр /, полагая у' = ctg t\ тогда получим:
•¦- 6l ¦ = C1 sin2t = ~- (1 — cos 2/);
3 l + cig2/ 1 2
dy 2C1 sin Z cos t dt n„ , „ , ., „ ., ..
dx = —у- = •—¦-j-= 2C1 sin21 dt = C1(I — cos 2/) dt;
у ctg/ 1
X = C1 (t - + C2 = Щ- (2/ - sin 2/) + C2-
Следовательно, в параметрической форме уравнение искомой линии имеет вид
X-C2 = Q- (2/ — sin 2/), у = (1 — cos 2/). Если преобразовать, параметр подстановкой 2Z=Z1 и принять во внимание,
Итак, искомая новерхноаь образуется вращением линии, уравнение которой в параметрической форме имеет вид
X= C,t4-C2, у = C1 ch /.
х_ Q
Исключая параметр /, будем иметь у = C1 ch —^—---семейство цепных
линий, от вращения которых образуются поверхности, называемые катеноидами. Постоянные C1 и C2 определяются из условия прохождения искомой линии через заданные граничные точки (в зависимости от положения точек А и В может существовать одно, два или ни одного решения).
Пример 10. Задача о брахистохроне (см. стр. 281): определить кривую, соединяющую заданные точки А и В, при движении по которой материальная точка скатится из точки А в точку В в кратчайшее Время (трением и сопротивлением среды пренебрегаем).
Поместим начало координат в точку А, ось Ox направим горизонтально, ось Oy — вертикально вниз. Скорость движения материальной точки ds ж/~—
-^j- = у igy, . откуда находим время, затрачиваемое на перемещение точки из положения А (0, 0) в положение В (хх, у,):
§ 3] ФУНКЦИОНАЛЫ ОБЩЕГО ВИДА 305
что C2 = 0, так как при у = 0, х.= 0, то мы получим уравнение семейства циклоид в обычной форме:
Q
X= ~ (tx — SlD Г,), У = ~ (1 - COS *,),
С,
где — радиус катящегося круга, который определяется из условия прохождения циклоиды через точку В(хх, у,). Итак, брахистохроной является циклоида.
§ 3, Функционалы вида J F(x, у,, у2, уп, yv у2.....у'п) dx
Для получения необходимых условий экстремума функционала v более общего вида
Xi
ю[Уг У2.....Уп] = ір(х- УV У2.....У„- УV У2.....yn)dx
ха
при заданных граничных значениях всех функций
Уі(*о) = УіО' У2(Х0) = У20.....Ул (-«о) = У/10.
Уі(*і) = Уц. У2Оі) = У2і.....Ул(-«і) == У/ц.
будем варьировать лишь одну из функций
у j (X) (7=1. 2.....п),
оставляя все остальные функции неизменными. При этом функционал
V {yv у2.....уп] превратится в функционал, зависящий лишь от
одной варьируемой функции, например от у1(х),
гЧУі> У2.....Уп\=^\Уі\
рассмотренного в § 2 вида, и, следовательно, функция, реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению Эйлера
F--— F-=0.
>i dx V1
Так как это рассуждение применимо к любой функции уг (1=1,
2..... п), то мы получим систему дифференциальных уравнений
второго порядка
20 Л. Э. Эльсгольц
306 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. в
V [у (х), z(x)] = J F (х, у, z, у', z')dx;
Xq
У(Х0) = У0, Z(X0) = Z0, у(хх) = ух, Z(X1):
т. е. определяется выбором пространственной кривой у = у (х), Z = Z(X) (рис. 6.11), то, варьируя только у(х) и фиксируя z(x),
Z
>в
я-
к-чУ У У їх) Z- Z(X)
/ 1
Рис. 6.11.
мы изменяем нашу кривую так, что ее проекция на плоскости xOz не изменяется, т. е. кривая все время остается на проектирующем цилиндре z = z(x) (рис. 6.12).
Аналогично, фиксируя у(х) и варьируя z (х), мы варьируем кривую так, что она все время лежит на проектирующем цилиндре у = у(х). При этом получаем систему двух уравнений Эйлера:
d р
:0
У dx' у *' * 2 dx
Пример 1. Найти экстремали функционала
F2. =0.
V Ь (х), г (X)) = j [y'2 + *'* + 2уг] dx, у (0) = 0, у (jj = 1, о
,(0)=0, .(?—L
определяющих, вообще говоря, 2я-параметрическое семейство интегральных кривых в пространстве х, yv у2, •••• Уп— семейство экстремалей данной вариационной задачи.
Если, в частности, функционал зависит лишь от двух функций у (X) и z (х):
§ 3]
ФУНКЦИОНАЛЫ ОБЩЕГО ВИДА
307
Система дифференциальных уравнений Эйлера имеет вид
у"—2 = 0, г" — у = 0.
Исключая одну из неизвестных функций, например г, получаем у'V — у = 0.
Интегрируя это линейное уравнение с постоянными коэффициентами, будем иметь;
у = C1I?* -f- С2е~х -f- C3 cos X -(- C4 sin х; 2 = у"; 2 = C1«* -|- Сге~_х — C3 cos X — C4 sin дг. Используя граничные условия, находим:
