Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
v]y(x, а)] = ф(а),
Рис. 6.4.
так как значение параметра а определяет кривую семейства у = у(х, а) и тем самым определяет и значение функционала v[y(x, а)]. Эта функция ф(а) достигает своего экстремума при а = 0, так как при а = 0 получаем у = у (х), и функционал, по предположению, достигает экстремума по сравнению с любой близкой допустимой кривой и, в частности, по отношению к близким кривым семейства у = у(х, а). Необходимым условием экстремума функции Ф(а) при а = 0, как известно, является обращение в нуль ее производной при а = 0:
Ф'(0) = 0.
Так как
х,
ф(а)= J F(x, у(х, а), у'х(х, a))dx,
294 МЕТОД ВАРИАЦИИ B ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. в ТО
X,
Ф' (a) = f [Fy -jL у (х, а) + Fy у' (х, а)] dx.
Xt
где
или, так как
д
Fy=-^ F(x, у(х, а), у'(х, а)), ду'
7V = -AZr F(X, у(х, а), у'(х, а)).
а) = -^ [у(х) + аЬу] = Ьу
JL у' (X, а) = A [y' (X) + абу'] = б/,
получим
*1
ф'(а)= J[Fy(x, у(х, а), у'(х, а))бу +
xt
+ Fy(x, у(х, а), у'(х, a))by']dx\
Xx
Ф'(0)= J [Fy(x, у(х), y'(x))oy + /V(*. у(*). y'(x))6y']dx.
Xo
Как мы уже знаем, ф'(0) называется вариацией функционала и обозначается бг>. Необходимое условие экстремума функционала v заключается в обращении в нуль его вариации: bv = 0. Для функционала
X1
V [у (X)] = j F(x, у, y')dx
Xo
это условие имеет вид
j [Fy oy-f/Voy'] O1X = O.
•Го
Интегрируем второе слагаемое по частям и, принимая во внимание, что 6у' = (6у)', получим
X,
bv = [Fy Ьу% + f [Fy - jL. Fy,} by dx.
Xa
oy \xmXt = у (X0) — у (X0) = 0 и oy \х=Хі = у (X1) — у (X1) = 0.
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
295
потому что все допустимые кривые в рассматриваемой простейшей задаче проходят через фиксированные граничные точки, и следовательно,
Xl
Ы>=/(ру-^Рг)Ьуах.
Итак, необходимое условие экстремума приобретает вид
х,
f (Fy-J7Fy^dX = Q, (6.2)
Xe.
причем первый множитель Fy — ~JjFy> на кривой у = у(х), реализующей экстремум, является заданной непрерывной функцией, а второй множитель oy, ввиду произвола в выборе кривой сравнения У = У(х), является произвольной функцией, удовлетворяющей лишь некоторым весьма общим условиям, а именно: функция Oy в граничных точках х = X0 и X = X1 обращается в нуль, непрерывна и дифференцируема один или несколько раз, oy или oy и Oy' малы по абсолютной величине.
Для упрощения полученного условия (6.2) воспользуемся следующей леммой:
Основная лемма вариационного исчисления. Если для каждой непрерывной функции т](х)
Xl
J Ф (л) T](x)dx = 0,
Xo
где функция Ф(х) непрерывна на отрезке [х0, X1], то
Ф(х)=з0
на том же отрезке.
Замечание. Утверждение, леммы и ее доказательство не изменяются, если на функции г|(х) наложить следующие ограничения: т] (х0) = т] (X1) = 0; т](х) имеет непрерывные производные до порядка р, |т|<*>(х)|<е (s = 0, 1, . .. q\ <?</>)• _
Доказательство. Предположив, что в точке х = х, лежащей на отрезке X0 <1 X <; X1, Ф(х)=?0, придем к противоречию. Действительно, из непрерывности функции Ф(х) следует, что если Ф(х)Ф0. то Ф(х) сохраняет знак в некоторой окрестности (X0OO1) точки х; но тогда, выбрав функцию т)(х) также сохраняющей знак
296 МЕТОД ВАРИАЦИИ B ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 6
= k (X — X0)2" (X
X1)2"
на
отрезке (х0 <^ X X1), где
• целое
Xn X X,
¦о х х/
Рис. 6.5.
положительное число, k — постоянный множитель. Очевидно, что функция г)(х) удовлетворяет упомянутым выше условиям: она непрерывна, имеет непрерывные производные до порядка 2п — 1, обращается в нуль в точках X0 и X1 и может быть сделана по модулю сколь угодно малой вместе со своими производными за счет уменьшения модуля множителя k.
Замечание. Дословно так же можно доказать, что если функция Ф(х, у) непрерывна в области D на плоскости (х, у) и
j ?ф(х, у)Ц(х, у) dx dy = 0 при произвольном выборе функции
D
т)(х, у), удовлетворяющей лишь некоторым общим условиям (непрерывность, дифференцируемость один или несколько раз, обращение в нуль на границах области D, |г]|<е, |т]^| < є, |Лу|<є), то Ф(х, у) = 0 в области D. Функцию г)(х, у) при доказательстве основной леммы можно выбрать, например, так: т](х, у) = 0 вне круговой окрестности достаточно малого радиуса S1 точки (х, у), в которой Ф(х; у)ф0, а в этой окрестности точки (х, у) функция т] (х, у) = k [(х — х)2 -f- (у — у)2 — є2]2" (рис. 6.6). Аналогичная лемма справедлива и для л-кратных интегралов.
в этой окрестности и равной^нулю вне этой окрестности (рис. 6.5), получим
X1 Xx
j Ф(х)г\(х)ах = J Ф(х)ц(х)ііхфО,
Х- ' Xn
так как произведение Ф(х)т)(х) сохраняет знак на отрезке (X0Kx^x1) и обращается в нуль вне этого отрезка. Итак, мы пришли к противоречию, следовательно, Ф(х)=0. Функцию ц(х) можно выбирать, например, так: г](х) = 0 вне отрезка (х0<С X^x1); г](х) =
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
297
Применим теперь основную лемму для упрощения полученного выше необходимого условия (6.2) экстремума простейшего функционала (6.1)
