Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Можно дать и другое, почти эквивалентное, определение дифференциала функции и вариации функционала. Рассмотрим значение функции /(х + аДх) при фиксированном х и Ax и изменяющихся значениях параметра а. При а = 1 получим приращенное значение функции /(х + Ах), при а —0 получим исходное значение функции f (х). Нетрудно проверить, что производная от /(х+аДх) по а при а= 0 равна дифференциалу функции /(х) в точке х- Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции
~ f (X Ar a Ax) |а=0 = /' (X + а Ax) Ax |а=0 = /' (*) Ax = df (х). Точно так же для функции нескольких переменных
Z = /(Xj, X2, .... Xn)
можно получить дифференциал путем дифференцирования
/(X1+ a Ax1, х2+ а Ax2.....х,, +а Axn)
по а, полагая затем а=0. Действительно,
л
^-/ (X1 + а Ax1, х2 + а Ax2.....X11 + а Axn) |а=0 = 2? Ах< = df-
i=i
И для функционалов вида v[y(x)\ или более сложных, зависящих о-| нескольких неизвестных функций или от функций нескольких
§ 1] ВЛРИАЦИЯ и ЕЕ СВОЙСТВА 289
19 Л, Э. Эльсгольц
переменных, можно определить вариацию как производную от функционала V [у (х)-\-aby] по а при а=0. Действительно, если функционал имеет вариацию в смысле главной линейной части приращения, то его приращение имеет вид
Av = V [у (х) -4- а oy] — v\y (х)] = L (у, а 6у) -4- ? (у, а 6у) | а | max | Oy |.
Производная от v{y -\- a by] по а при а = 0 равна
,. Av ,. Ди ,. L (у, а 6у) 4- В [у (х), а 6у 1 I а I max I oy I lim -г— = lim —= lim —^—}' 1 lJ v '-—!-'—^ =
Да>0 Да а->0 а а->0 а
¦ =Пт МУ'«6У> + цт Р[У(-*).а6у]1а|тах[оу| ^
а->0 а а->0 а
так как в силу линейности
L (у, CtOy) = CtZ. (у, 6у),
а
і- ? [У (х), абу] І а ! max I oy | , „ , . s , .
lim 1 l} -^11—!-L^-i = hm? [у(х), абу] max |бу | = О,
а->0 а а->0
потому что ?[y(x), абу]->0 при а->0. Итак, если существует вариация в смысле главной линейной части приращения функционала, то существует и вариация в смысле производной по параметру при начальном значении параметра, и оба эти определения эквивалентны.
Второе определение вариации несколько шире первого, так как существуют примеры функционалов, из приращения которых нельзя выделить главной линейной части, но вариация в смысле второго определения существует.
6. Дифференциал функции 6. Вариация функционала f (х) равен v]y(x)] равна
J0T f (X + a Ax) |а=0. -faVly(x)+aby]\a=0.
Определение. Функционал v]y(x)] достигает на кривой у = у0(х) максимума, если значения функционала v[y(x)] на любой близкой к у = у0(х) кривой не больше, чем v[y0(x)], то есть Av = v[y(x)]—v{y0(x)] <С0.
Если Av ^ 0, причем Ai>= 0 только при у (х) = у0(х), то говорят, что на кривой у = уп(х) достигается строгий максимум. Аналогично определяется кривая у^y0(X), на которой реализуется минимум. В этом случае Av^O для всех кривых, близких к кривой у = у0(х).
7. Теорзма. Если диффе- 7. Теорема. Если функ-ренцируемая функция f(х) ционал v[y(x)], имеющий ва-достигает максимума или риацию, достигает максимума
290 МЕТОД ВАРИАЦИЙ B ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. в
Доказательство теоремы для функционалов. При фиксированных у0(х) и 6у v [у0(х) + абу] = ф(а) является функцией а, которая при а = 0, по предположению, достигает максимума или минимума, следовательно, производная
т. е. бг> = 0. Итак, на кривых, на которых достигается экстремум функционала, его вариация равна нулю.
Понятие экстремума функционала нуждается в уточнении. Говоря о максимуме или минимуме, точнее, об относительном максимуме или минимуме, мы имели в виду наибольшее или наименьшее значение функционала только по отношению к значениям функционала на близких кривых. Но, как было указано выше, близость кривых может быть понимаема различно, поэтому в определении максимума или минимума надо указывать, какого порядка близость имеется в виду.
Если функционал v[y(x)] достигает на кривой у = у0(х) максимума или минимума по отношению ко всем кривым, для которых модуль разности у(х) — У0(х) мал, т. е. по отношению к кривым, близким к у = у0(х) в смысле близости нулевого порядка, то максимум или минимум называется сильным.
Если же функционал v [у (х)] достигает на кривой у = У0(х) максимума или минимума лишь по отношению к кривым у = у (х), близким к у = у0(х) в смысле близости первого порядка, т. е. по отношению к кривым, близким к у = у0(х) не только по ординатам, но и по направлениям касательных, то максимум или минимум называется слабым.
Очевидно, что если на кривой у = у0(х) достигается сильный максимум (или минимум), то подавно достигается и слабый, так как если кривая близка к у = у0(х) в смысле близости первого порядка, то она близка и в смысле близости нулевого порядка. Однако возможно, что на кривой у = у0(х) достигается слабый максимум (минимум) и в то же время не достигается сильный максимум (минимум), т. е. среди кривых у = у(х), близких к у=уДх) как по ординатам, так и по направлению касательных, может не быть таких, для ко-
