Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
р + ^(Ю<") = 0 или yiv = _?,
откуда
У = - Ig-+ C1*3 + C2*2 + (V + C4. Используя граничные условия, окончательно находим
У = -247(*4~2/2*2 + /4) ИЛИ У = ~2ІІГ(^-/2)2-Если функционал v имеет вид
Xi
v[y(x), z(x)] = f F(x, у, у'.....у<Я), z, z'.....z^) dx.
Xo
то, варьируя только у(х) и считая z(x) фиксированным, мы находим, что функции у(х) и z (х), реализующие экстремум, должны удовлетворять уравнению Эйлера — Пуассона
F>—hpr+ ¦¦¦ +(-ir~Fy{n)=o,
а варьируя z(x) и считая у(х) фиксированным, получим, что те же функции должны удовлетворять уравнению
F*-lx-F*'+ ••¦ +(-1)Ш^/>, = 0.
Итак, функции z(x) и у(х) должны удовлетворять системе двух уравнений
її rim
р*-шр>'+ ¦•¦ -^-^) = 0.
Точно так же можно рассуждать и при исследовании на экстремум функционала, зависящего от любого числа функций:
"ІУі. у2.....Уп\ =
х,
= J F(x, уг у[.....у».). у2. у'2.....у2Ч ...
X0
.... у , V.....у("т)) dx.
312 метод вариаций b задачах с неподвижными границами [гл. 6
Рис. 6.13.
проходить все допустимые поверхности (рис. 6.13). Для сокращения dz dz
записи обозначим: -^ = р, -g— = q. Функцию F будем считать
трижды дифференцируемой. Поверхность z = z(x, у), на которой реализуется экстремум, будем предполагать дважды дифференцируемой.
Рассмотрим опять однопараметрическое семейство поверхностей z = z(x, у, a) = z(x, у) -f- abz, где 6z = z(x, у) — z(x, у), включающее при а = 0 поверхность z = z(x, у), на которой реализуется экстремум, а при а = 1 — некоторую допустимую поверхность z =z(x, у). Ha функциях семейства z (х, у, а) функционал v пре-
Варьируя какую-нибудь одну функцию yi (х) и сохраняя остальные неизменными, получим основное необходимое условие экстремума в виде
Р**-ТFy\+ ••• +(-1)Лг7^Г^) = 0 = 2т)-
dx '< dx 1 уі
§ б. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных
Исследуем на экстремум функционал
V\z (х, у)! = ff F (х, у, z, -^-, -0-) dx dy,
' D '
причем на границе С области D значения функции z(x, у) заданы, т. е. задан пространственный контур С, через который должны
§ 51 функционалы ot функций нескольких переменных 313
где
Так как
то
z(x, у, a) = z(x, y)-j-aoz,
. , дг (X, у, а) . чіл
р(х, у, а) = —у—^-= р(х, у) + а bp,
oz (х, у, а) , , і X q(x, у, а) = —^—L = q(x, y)-+-abq.
-^{Fpbz}=-L{Fp} bz + Fpbp, ^{F.bzX^-L^^bz + F^q,
Jf (Fpbp + Fqbq)dxdy =
D '
D
-f f[^W+W[F']]bzdxay-
D
где -^L {Fp)—так называемая полная частная производная по х.
При ее вычислении у считается фиксированным, но зависимость z, р и q от X учитывается:
JLtFl-P -4-F —-4-F -^--4-F ¦^-Ox 1P' ~ р*~Г ' ^2Ox' ox T рч дх
и аналогично
'JLiF)-P ' + F LL + f ^?- + F
ду X' ql ' qy T qz fix ~ qp 0у ~ qq ву
По известной формуле Грина
вращается в функцию а, которая должна иметь экстремум при а = 0;
следовательно, -Lv\z(x, у, a)] L п = 0. Называя в соответствии Oa 1а= 0
с § 1 производную от V[z (х, у, а)] по а при а== 0 вариацией
функционала и обозначая ее bv, будем иметь:
= j ~д~а f j F (х, у, z (х, у, а), р (х, у, а), q (х, у, а)) dx dy
= //\Fzbz + Fpbp + Fqbq\dx dy,
314 метод вариации в задачах с неподвижными границами [гл. в
d
принимает вид
F,~±[Fp}--iL{Fq})bzdxdy==0.
Так как вариация bz произвольна (на bz наложены лишь ограничения общего характера, касающиеся непрерывности и дифференцируемое™, обращения в нуль на контуре Сит. д.), а первый множитель непрерывен, то по основной лемме (стр. 296) на поверхности z = z(x, у), реализующей экстремум,
Fx-^[F1,}—[F9]^O. Следовательно, z(x, у) является решением уравнения
Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, которому должна удовлетворять функция z (х, у), реализующая экстремум, носит название уравнения Остроградского по имени выдающегося русского математика М. В. Остроградского, который в 1834 году впервые получил это уравнение, однако для прямоугольных областей D оно встречалось уже в работах Л. Эйлера.
Пример 1.
получим
f/[ж^^ + ж{р№]ахаУ= f (Fpdy-Fqdx)bz = Q.
d с
Последний, интеграл равен нулю, так как на контуре С вариация bz = 0, потому что все допустимые поверхности проходят через один и тот же пространственный контур С. Следовательно,
//[Fpbp + Fqbq} dx dy=-f f[JL[Fp}+^-[F4\]bz dx dy, d' ' d
и необходимое условие экстремума
f f (Fzbz + Fpbp + F<!bq)dxdy = 0
§ 5] функционалы от функции нескольких переменных 315
на границе С области D значения функции г заданы: * = / (л, у). Уравнение Остроградского в данном случае имеет вид
дх2 ^ ду2 '
или в краткой записи
Дг = 0,
т. е. является известным у равнением Лапласа, причем надо найти непрерывное в D решение этого уравнения, принимающее заданные значения на границе области D. Это — одна из основных задач математической физики, называемая задачей Дирихле. Пример 2.
V [г (х, у)] - / / [(M-J + (M-J + 2zf (х, у)] dx dy,
