Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
интегралы J Z1(X) dx и j /гОО^У нельзя будет выразить в элементарных функциях, тем не менее мы и в этом случае будем считать задачу интегрирования дифференциального уравнения (1.4) выполненной в том смысле, что мы свели ее к более простой и уже изученной в курсе интегрального исчисления задаче вычисления неопределенных интегралов — квадратур *).
Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее условию у (X0) — у0, то оно, очевидно, определится из уравнения
У х
J /2 (У) аУ = J A (X) dx,
Уі Xn
которое получим из
У X
/ /г (У) dy= J /1 (х) dx + с,
воспользовавшись начальным условием у (х0) — у0. Пример 1.
X dx -f- у dy = 0.
Переменные разделены, так как коэффициент при dx является функцией только х, а коэффициент при dy является функцией только у. Интегрируя, получим
J X dx-\- J у dy = с или X2 -\- уг = с\
*) Так как термин «интеграл» в теории дифференциальных уравнений часто применяется в смысле интеграла дифференциального уравнения, то во
избежание недоразумений для интегралов функций j / (х) dx обычно применяется термин «квадратура».
УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
21
— семейство окружностей с центром в начале координат (сравните с примером 2, стр. 16—17).
Пример 2. Интегрируя, получаем
In у *
dy
У
Интегралы У e**dx и ^ "JTf"- не берутся в элементарных функциях, тем не
менее исходное уравнение считается проинтегрированным, так как задача доведена до квадратур.
Уравнения вида
Фі ix) Ip1 (у) dx = <р2 (х) ф2 (у) dy,
в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от X и только от у, называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными, так как путем деления на Ip1 (у) <р2 (х) они приводятся к уравнению с разделенными переменными:
Фі(*) dx= Ф«(У) dv
Ф2 (X) Ip1 (У) '
Заметим, что деление на ф, (у) <р2 (х) может привести к потере частных решений, обращающих в нуль произведение ¦^1 (у) • ф2 (х), а если функции (у) и (f2(x) могут быть разрывными, то возможно появление лишних решений, обращающих в нуль множитель
1
i|>i (У) Фз (х)
Пример 3.
= — (сравните с примером 1, стр. 16).
Разделяем переменные и интегрируем:
dy _ dx С dy _ Г dx
~ ~' ./ ~ ./ ~'
In I у I =ln| X I+ In с, с> 0.
Потенцируя, получим \у\ = с\х\. Если речь идет только о гладких решениях, то уравнение | у | = с | х I, где с > 0, эквивалентно уравнению у= ± сх или у = C1X, где Ci может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но с, Ф 0. Если же принять во внимание, что при делении на у мы потеряли решение у = 0, то можно считать, что в решении у = C1X постоянная C1 принимает и значение C1 = О, при котором мы получаем потерянное ранее решение у = 0.
Замечание. Если в примере 3 считать переменные л: и у равноправ-dy У
ными, то уравнение ¦—¦ = —, теряющее смысл при х = 0, надо дополнить
22 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. T
/ -^= Г 2tdt,fx = t2, x = tK J 2\Г X ¦I
4v-
Пример 6. Как уже упоминалось во введении, установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству х еще не распавшегося вещества. Найти зависимость х от времени t, если в начальный момент при t = t0 будет X = X0.
Коэффициент пропорциональности k, называемый постоянной распада, предполагается известным. Дифференциальное уравнение процесса будет иметь вид
¦Ir — ** (1-6>
(знак— указывает на уменьшение х при возрастании t, k > 0). Разделяя переменные и интегрируя, получаем
^- = — kdt; \n\x]—\n\xa\ = k(t — t0),
откуда
Определим еще период полураспада т ^r. е. время, в течение которого ' ^ Полагая t — А) = т, получим 4--V0 = хае~кх, отсюда
распадается X0J. Полагая t — t0 = т, получим -^-х0 = х0е 1п2
Не только радиоактивный распад, но и любая другая мономолекулярная реакция на основании закона действующих масс описывается уравне-dx
ниєм —kx, где X—количество еще не прореагировавшего вещества.
Уравнение
?± = kx. k>0, (1.7)
^
dx X , ,„
уравнением —т— = — (см. стр. 19), которое, очевидно, имеет еще решение У У
л: = 0, не содержащееся в найденном выше решении у = C1X. П р и м е р 4.
X (1 4- у2) dx — у (1 + X2) dy = 0. Разделяем переменные и интегрируем:
у dy _ X dx _ С у dy _ Г X dx l+y2 ~ \+х2' J 1-f у2 ~~,/ 1 -fx2 +С; In (1 + у2) = In (1 + X2) + In с,; 1 4-у2 = C1 (1 + X2). Пример 5.
dx .,,/¦—
Найти решение х (t), удовлетворяющее условию х (1) = 1. Разделяем переменные и интегрируем:
УРАВНЕНИЯ- С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
23
отличающееся лишь знаком правой части от уравнения (1.6), описывает многие процессы «размножения», например «размножение» числа нейтронов в цепных ядерных реакциях или размножение числа бактерий в предположении, что условия среды для них предельно благоприятны и поэтому скорость их размножения пропорциональна наличному числу бактерий.
Решение уравнения (1.7), удовлетворяющее условию x(t0) = x0, имеет вид X = xaek(t~t^ и, в отличие от решений уравнения (1.6),X (t) не убывает, а возрастает по показательному закону с возрастанием L
