Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
lu| = j j ц,(г)аг+1пс
~ <t(z)dz
\i=ce2J , (1.21)
где
dN дМ дх ду
^p(Z) =
My — Nx
Для существования интегрирующего множителя заданного вида необходимо
ON дМ * ду
и в предположении непрерывности ф (г) достаточно, чтооы - J1^y_—
была функцией только х2 -f у2. В данном случае
dN дМ
дх ду 2
My-Nx X2+у2'
следовательно, интегрирующий множитель и == ц (х2 + у2) существует и равен (1.21). При с = 1 получим
о J z — .
,.1 1
H = е
Z X2 -|- у2
Умножая уравнение (1.20) на u = ^.2 ^2 . приведем его к виду
X dx -\- у dy X dy — у dx _ „
X2 + у2 I л2 + у2 ~~
или
і d (X2 -fy2) d(?
—__і__= о,
*24-У2 + 14-(2"
і d In (X2 4- у2) 4- d arctg Y = O.
Интегрируя, получим
In Ух2 4- у2 = — arctg 4- In с,
и после потенцирования будем иметь
Y X2+ у2 = се
у
arctg —
откуда
InIi
или
38 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
или в полярных координатах р = се ф — семейство логарифмических спиралей.
Пример 4. Найти форму зеркала, отражающего параллельно данному направлению все лучи, выходящие из заданной точки.
Поместим начало координат в заданную точку и направим ось абсцисс параллельно заданному в условиях задачи направлению. Пусть луч падает на зеркало в точке М(х, у). Рассмотрим изображенное на рис. 1.12 сечение зеркала плоскостью Оху, проходящее через ось абсцисс и точку М. Проведем касательную MN к рассматриваемому сечению поверхности зеркала в точке M (х, у). Так как угол падения луча равен углу отражения, то треугольник MNO равнобедренный. Следовательно,
tg ф = у' =-.— ^ .
x+Vx2 + y2
Полученное однородное уравнение легко интегрируется заменой переменных
X
У
У
, f /
і
0
/
А
/
x
Рис. 1.12.
¦ = г,
но еще проще, освободившись от иррациональности в знаменателе, переписать его в виде
X dx + у dy = У' х2 + у2 dx. Уравнение имеет очевидный интегрирующий множитель
ц.=
Vx2 + У2 ' Yx2 + у2
xdx+ydy =dx^ YX2+ у2 = х+с, у2 = 2сх + с2
(семейство парабол).
Заме ч а н и е. Эта задача еще проще решается в координатах х и р, где р = Ух2 + у2, при этом уравнение сечения искомых поверхностей приобретает вид
dx == dp, р = X + с.
Можно доказать существование интегрирующего множителя, или, что то же самое, существование ненулевого решения уравнения в частных производных (1.18) (см. стр. 35) в некоторой области, если функции M и N имеют непрерывные производные и по крайней мере одна из этих функций не обращается в нуль. Следовательно, метод интегрирующего множителя можно рассматривать как общий метод интегрирования уравнений вида
М(х, у) dx-+ N (х, y)dy = 0,
однако ввиду трудности нахождения интегрирующего множителя этот метод чаще всего применяется лишь в тех случаях, когда интегрирующий множитель очевиден.
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
39
§ 6. Теоремы существования и единственности решения уравнения -^r==/(X, у)
Класс интегрирующихся в квадратурах дифференциальных уравнений весьма узок, поэтому уже со времени Эйлера приближенные методы в теории дифференциальных уравнений приобрели большое значение.
В настоящее время в связи с быстрым развитием вычислительной техники приближенные методы приобретают еще несравненно большее значение.
Теперь часто целесообразно применять приближенные методы даже в тех случаях, когда уравнение интегрируется в квадратурах. Более того, если даже решение может быть несложно выражено в элементарных функциях, то нередко использование таблиц этих функций оказывается более трудоемким, чем приближенное интегрирование уравнения на быстродействующей машине. Однако, для того чтобы применять тот или иной метод приближенного интегрирования дифференциального уравнения, надо прежде всего быть уверенным в существовании искомого решения, а также и в единственности решения, так как при отсутствии единственности остается неясным, какое именно решение требуется приближенно определить.
Чаще всего доказательство теорем существования решения одновременно дает и метод точного или приближенного нахождения решения, что еще более увеличивает значение теорем существования. Например, доказываемая ниже теорема 1.1 дает обоснование метода Эйлера приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, который заключается в том, что искомая интегральная кривая диф-
dy
Рис. 1.13.
ференциального уравнения
dx
¦¦ f(x, у), проходящая через точку
(х0' >'о)- заменяется ломаной, состоящей из прямолинейных отрезков (рис. 1.13), каждое звено которой касается интегральной кривой в одной из своих граничных точек. При применении этого метода для приближенного вычисления значения искомого решения у (л:) в точке х = Ь, отрезок X0^x 4^.Ь (если Ь > л:0) делится на п рав-
ных частей точками xQ, X1, х2,
х„, где х„ = Ь. Длина
каждой части xit{ —X1 = Ii называется шагом вычисления. Приближенные значения искомого решения в точках X1 обозначаем yt.
