Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 7.
^ = р(р-2)(р-4).
Начертить интегральные кривые, не интегрируя уравнения; р и ф — полярные координаты.
Уравнение имеет очевидные решения р = О, р = 2 и р = 4. При 0 < р < 2
ІВ- > 0; при 2 < р < 4 < 0 и при р > 4 -^- > 0.
dy dy d<p
Следовательно, интегральными кривыми являются окружности р == 2 и р = 4 и спирали, наматывающиеся при возрастании ф на окружность р = 2 и разматывающиеся с возрастанием ф с окружности р = 4. Замкнутые интегральные кривые, в достаточно малых окрестностях которых интегральными кривыми являются спирали, называются предельными циклами. В данном примере окружности р = 2 и р = 4 являются предельными циклами.
Пример 8. Найти ортогональные траектории семейства парабол у — ах2.
Ортогональными траекториями заданного семейства кривых называются линии, пересекающие под прямым углом линии данного семейства. Угловые коэффициенты ух и у2 касательных к кривым данного семейства и к искомым ортогональным траекториям должны в каждой точке удовлетворять условию ортогональности у2 =--г. Для семейства парабол у —
У\
у 2у
= ах2 находим у = 2ах, или так как a — -j^, то у' — —Следовательно, дифференциальное уравнение искомых ортогональных траекторий имеет вид /¦--
Разделяя переменные, находим 2у dy + х dx = 0 и, интегрируя, получим семейство эллипсов
(рис. 1.9).
Пример 9. Пусть и = ху — потенциал скоростей плоскопараллельного течения жидкости. Найти уравнение линий тока.
Линии тока являются ортогональными траекториями семейства эквипотенциальных линий ху = с. Находим угловой коэффициент касательной
к эквипотенциальным линиям: ху' + у = 0, у' —--~. Следовательно, дифференциальное уравнение линий тока имеет вид у' = -у или у dy = х dx;
интегрируя, получаем х2 — у2 = с — семейство гипербол.
Пример 10. Полый однородный металлический шар, имеющий внутренний радиус Гц а внешний г2 находится в стационарном тепловом
24
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 1
состоянии, причем температура на его внутренней поверхности равна 7*1, а на наружной T2. Найти температуру T на расстоянии г от центра шара, ri < г < г2.
Из соображений симметрии следует, что T является функцией только г. Так как между двумя концентрическими сферами с центрами в центре шара (нх радиусы могут изменяться от гх до г2) количество тепла остается
неизменным, то через каждую сферу у і , протекает одно и то же количество
тепла Q. Следовательно, дифференциальное уравнение, описывающее рассматриваемый процесс, имеет вид
dT dr
= Q,
где k — коэффициент теплопроводности. Разделяя переменные и интегрируя, _Р получим искомую зависимость T от г.
ink dT ¦¦ т
Qdr
Рис. 1.9.
4я&
ft г,
Для определения Q используем условие: при г = r2, T = T2
4лк (T2 — T1) ^ 4nk (T1 — Г,) rtr2
J___1_ ~ Г\—г%
г2 г,
§ 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными. К числу таких уравнений относятся, например, уравнения вида
где а и Ь — постоянные величины, которые заменой переменных z — ax-\-by преобразуются в уравнения с разделяющими переменными. Действительно, переходя к новым переменным XHZ, будем иметь
§ 3] УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 25
a+bf(z)
и переменные разделились. Интегрируя, получим
_ С dz X-J a+bf(z) +С-
Пример 1.
Полагая гг = 2л: + у, будем иметь
dx ~~ dx ' dx z-
Разделяя переменные и интегрируя, получим
jZf2=ax, 1п|г + 2| = дг + Іпс, г = — 2+се* 2л: + у = — 2 + се-1, у = се* — 2л: — 2.
Пример 2.
dx X — у 1
Полагая л: — у = г, получим
*L = i-*L |.UeI+1.
</л: «Рл: ' afjf г ~ '
¦4^- =---, z dz = — dx z2 = — 2x4-с, (х— у)2 = — 2x4- с.
dx г \ jі
К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка, имеющие вид
dy_ dx
Действительно, после подстановки z = -^- или у == xz получим
dy dz . а?г , ...
-т-= х-;--\-z, X-j—\ z = f (z), -t7-z-= —,
dx dx ' dx 1 J к ' f(z) — z X '
dz
f -rr^r-= ln|jc|+Inc. x—ce^ f
J f (Z)— Z 111
(z)-z
Заметим, что правая часть однородного уравнения является однородной функцией переменных X Vt у нулевой степени однород-' ности, поэтому уравнение вида
М(х, y)dx4rN(x, y)dy = 0
ИЛИ
: dX,
26 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ' (ГЛ. I
• будет однородным, если M (х, у) и N (х, у) являются однородными функциями X и у одинаковой степени однородности, так как в этом случае
dy _ M (х, у) _ f (у_\ dx N (х, у) ~~ ' \ X ) '
Пример 3.
^L = Z + tgX.
dx X 1 a X
Полагая у = хг, ^j- = х ~^ -\- г и подставляя в исходное уравнение получим
dz . . . cos г dz dx
X—;--н z = г 4-tg Z, -;-=-,
dx 1 ь sin z X
In I sin г I = Iu I Je I + In с, sin г = с*, sin-j- = сл. Пример 4.
