Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Точное или приближенное решение задач с начальными условиями и граничных задач является основной задачей теории дифференциальных уравнений, однако иногда требуется выяснить или приходится ограничиваться выяснением лишь некоторых свойств решений. Например, часто требуется установить, существуют ли периодические или колеблющиеся решения, оценить быстроту возрастания или убывания решений, выяснить, сильно ли меняется решение при малом изменении начальных значений.
Остановимся несколько подробнее на последнем из этих вопросов применительно к уравнению движения (В.2). В прикладных задачах
начальные значения г0 и г0 почти всегда являются результатом измерения и, следовательно, неизбежно определены с некоторой погрешностью. Поэтому естественно возникает вопрос о влиянии малого изменения начальных значений на искомое решение.
Если сколь угодно малые изменения начальных значений способны вызвать значительные изменения решения, то решение, определяемое неточными начальными значениями г0 и г0, обычно не имеет никакого прикладного значения, так как оно даже приближенно не описывает движение рассматриваемого тела. Следовательно, возникает важный для приложений вопрос о нахождении условий, при
которых малое изменение начальных значений г0 и г0 вызывает лишь малое изменение определяемого ими решения г (t).
Аналогичный вопрос возникает и в задачах, в которых требуется выяснить, с какой точностью надо задавать начальные значения г0
и г0, чтобы движущаяся точка с заданной точностью вышла на требуемую траекторию или попала бы в данную область.
14
ВВЕДЕНИЕ
Столь же большое значение имеет вопрос о влиянии на решение малых слагаемых в правой части уравнения (В.2) — малых, *но постоянно действующих сил.
В некоторых случаях эти малые силы, действующие в течение большого промежутка времени, способны сильно исказить решение и ими нельзя пренебречь. В других случаях изменение решения под действием этих сил незначительно, и если оно не превосходит требуемой точности вычисления, то малыми возмущающими силами можно пренебречь.
Ниже излагаются методы интегрирования дифференциальных уравнений и простейшие способы исследования их решений.
ГЛАВА 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно
производной
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка первой степени можно, разрешив относительно производной, представить в виде
. Sf-Hx. л.
Простейший пример такого уравнения
рассматривается в курсе интегрального исчисления. В этом простейшем случае решение
y = f /(*) dx-\-c
/
содержит произвольную постоянную, которая может быть определена, если известно значение у (х0) = у0, тогда
У = Уо + / f(x)dx.
В дальнейшем будет доказано, что при некоторых ограничениях, налагаемых на функцию f(x, у), уравнение
?=/<*¦я
также имеет единственное решение, удовлетворяющее условию у (JC0) = — у0, а его общее решение, т. е. множество решений, содержащее все без исключения решения, зависит от одной произвольной постоянной.
16 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
///
О
ft
'Л
's//.
S,
S^s///Jf
%7 -
триваемого вида определяет поле направлений (рис. 1.1) и задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в том, чтобы найти кривые, называемые интегральными кривыми, направление касательных к которым в каждой совпадает с направлением
точке поля.
Рис. 1.1.
Пример 1.
dy_ dx
У
X
В каждой точке, отличной от точки (0, 0), угловой коэффициент касательной
у
к искомой интегральной кривой равен отношению —• т. е. совпадает с угловым коэффициентом прямой, направленной из начала координат в ту же
\ \ 1 /Л\/-/^'
/ / \ \ \
I
Рис. 1.2.
•У
'/ /Vl
ff \
-я
і * \ ч
J11* -/
Рис
1.3.
точку (х, у). На рис. 1.2 стрелками изображено поле направлений, определяемое рассматриваемым уравнением. Очевидно, что]интегральными кривыми в данном случае будут прямые у = сх, так как направления этих прямых всюду совпадают с направлением поля
Пример 2.
dy _ X ~dx ~ у '
dv
Дифференциальное уравнение ~ = /(x, у) устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом каса- * тельной ~ к графику решения в той же точке. Зная хну, можно
вычислить -^-. Следовательно, дифференциальное уравнение рассма-Ui ff
§ 1]
УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ
17
Замечаем, что угловой коэффициент касательной к искомым интегральным кривым —у и угловой коэффициент касательной к интегральным кривым примера 1 в каждой точке удовлетворяют условию ортогональности:
———— = — 1. Следовательно, поле направлений, определяемое рассматри-У х
ваемым дифференциальным уравнением, ортогонально полю направлений, изображенному на рис. 1.2. Очевидно, что интегральными кривыми уравне-dy X
ния —--— являются окружности с центром в начале координат х1 -J-
-J-у2 = с2 (рис. 1.3) (точнее, полуокружности у = )Л:2—х2 и у = — У~с2—х2). Пример 3.
