Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
— дикритический 211
— неустойчивый 208, 211
— устойчивый 207, 211 Управление оптимальное 391 Управляющая функция 391 Уравнения в частных производных
10
----первого порядка 241 —
279
Уравнивание 61
Условный экстремум 282, 375—393 Устойчивое' решение (по Ляпунову) 204
--по отношению к постоянно
действующим возмущениям 236
Устойчивый предельный цикл 222
— узел 207,211
— фокус 209 Фазовая траектория 170 Фазовое пространство 12, 170 Фокус 59
— неустойчивый 209
— устойчивый 209 Фундаментальная система решений
100
Функционал 280, 284
— линейный 287
— непрерывный 285, 286 Характеристик метод 268 Характеристики 245, 248, 254, 268,
269, 273
Характеристическая полоса 269, 273 Характеристическое уравнение 107, 194
Центр 59, 210 Центральное поле 351 Цикл предельный 23, 226 Четаева теорема 218 Штермера метод 62, 200 Эйлера дифференциальное уравнение 110—113, 136
— конечно-разностный метод 395—
397
— ломаная 13, 40
— метод 39, 61, 199
— уравнение (в вариационном
исчислении) 297, 306, 368, 377 Эйлера — Пуассона уравнение 310 Экстремаль 297, 310
Экстремум связаный 282
— условный 282, 375—393
— функционала 290 --сильный 290, 360
--слабый 290, 359, 360
Якоби первый метод 277
— уравнение 356
— условие 355
ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ
В качестве третьего выпуска серии редакция приняла переиздание (с некоторыми изменениями) книг Л. Э. Эльсгольпа по соответствующим разделам.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Третий выпуск «Курса высшей математики и математической физики» для физических и физико-математических факультетов содержит теорию дифференциальных уравнений и вариационное исчисление. В основу книги положены лекции, которые автор в течение ряда лет читал на физическом факультете Московского ордена Ленина государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Излагаемый материал хотя и близок к содержанию книг автора «Дифференциальные уравнения» (M., Гостехиздат, 1957) и «Вариационное исчисление» (M., Гостехиздат, 1958), однако по совету редакторов Курса в него внесен ряд изменений. За эти советы автор выражает им свою искреннюю признательность.
Л. Э. Эльсгольц
ЧАСТЬ I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие величины, характеризующие физическое явление, но в то же время легко устанавливается зависимость между теми же величинами и их производными или дифференциалами. При этом мы получаем уравнения, содержащие неизвестные функции или вектор-функции под знаком производной или дифференциала.
Уравнения, в которых неизвестная функция или вектор-функция входит под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями. Приведем несколько примеров дифференциальных уравнений: dx
1) -^- = — kx— уравнение радиоактивного распада (k — постоянная распада, х — количество неразложившегося вещества в момент времени (, скорость распада -^- пропорциональна количеству распадающегося вещества).
2) т -гіг = F г, —тт) —уравнение движения точки массы m
под влиянием силы F1 зависящей от времени, положения точки, определяемого радиусом-вектором г, и ее скорости Сила равна произведению массы на ускорение.
торому, например, удовлетворяет потенциал и(х, у, z) электростатического поля, р(х, у, z) — плотность зарядов.
Зависимость между искомыми величинами будет найдена, если будут указаны методы нахождения неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями. Нахождение неизвестных -функций, определяемых дифференциальными уравнениями, и является основной задачей теории дифференциальных уравнений.
Если в дифференциальном уравнении неизвестные функции или вектор-функции являются функциями одной переменной, то дифферен-
3)
-гт — 4лр(х, у, z) —уравнение Пуассона, ко-
10
введение
шальное уравнение называется обыкновенным (например, уравнения 1) и 2)). Если же неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, является функцией двух или большего числа независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных (например, уравнение 3)).
Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в уравнение производной (или дифференциала) неизвестной функции.
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.
Например, уравнение радиоактивного распада
— kx (В.1)
се~ы, (B-I1)
где с — произвольная постоянная.
Очевидно, что дифференциальное уравнение (В.1) еще не полностью определяет закон распада х = х (t). Для его полного определения надо знать количество распадающегося вещества X0 в некоторый начальный момент ^0. Если X0 известно, то, принимая во внимание условие Je(^o) = JC0 из (B-I1), находим закон радиоактивного распада:
X == jc0e-*
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. В рассмотренном примере мы легко нашли точное решение, однако в более сложных случаях очень часто приходится применять приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений. Эти приближенные методы еще недавно приводили к утомительным вычислениям, но теперь быстродействующие вычислительные машины способны выполнять эту работу со скоростью в несколько десятков или даже сотен тысяч операций в секунду.
