Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим несколько подробнее упомянутую выше более сложную задачу о нахождении закона движения г = г (t) материальной точки массы т под действием заданной силы F (t, г, г). По закону Ньютона
mr — F (Л г, г). (В.2)
Следовательно, задача сводится к интегрированию этого дифференциального уравнения. Очевидно, что закон движения еще не вполне
ах_
имеет решение
X =
ВВЕДЕНИЕ
11
определяется заданием массы т и силы F, надо еще знать начальное положение точки
г V0) = r0 (B^1)
и начальную скорость
г(/о) = г0. (В.22)
Укажем весьма естественный приближенный метод решения уравнения (В.2) с начальными условиями (B.2j) и (В.22), причем идея этого метода может служить и для доказательства существования решения рассматриваемой задачи.
Разделим отрезок времени t0^.t <^.Т, на котором требуется определить решение уравнения (В.2), удовлетворяющее начальным усло-
виям (B.2t) и (В.22), на п равных частей длины h — —Jf^'-['о- hi ih. Ы.....Un-V П
где
tk = t0+kh (k= 1,2.....я—1).
В пределах каждого из этих малых (при больших значениях п) отрезков времени сила F(t, г, г) мало изменяется (вектор-функция F предполагается непрерывной), поэтому приближенно ее можно считать на каждом отрезке [tk_v tk\ постоянной, например, равной ее значению в левой граничной точке каждого отрезка. Точнее, на отрезке [^0, ^1] сила F(^, г, г) считается постоянной и равной F(^0, г0, г0). При этом допущении из уравнения (В.2) и начальных условий (B^1) и (В.22) легко определяется закон движения r„(t) на отрезке [^0, ^1] (движение будет равномерно переменным) и, следовательно, в частности, известны значения г„ ((х) и r„ (^1). Тем же методом приближенно определяем закон движения rn(t) на отрезке [^1, t2], считая силу F на этом участке постоянной и равной F(^1, rn(t{), Tn(^1)). Продолжая этот процесс, определим приближенное решение r„ (t) поставленной задачи с начальными значениями для уравнения (В.2) на всем отрезке [^0, Т].
Интуитивно ясно, что при /г—>оо приближенное решение тп(() должно стремиться к точному решению.
Заметим, что векторное уравнение (В.2) второго порядка может быть заменено эквивалентной системой двух векторных уравнений первого порядка, если рассматривать скорость v как вторую неизвестную вектор-функцию:
% = v. § = F«.r.v). (В.З)
Каждое векторное уравнение в трехмерном пространстве может быть заменено путем проектирования на оси координат тремя
Т2
ВВЕДЕНИЕ
скалярными уравнениями. Следовательно, уравнение (В.2) эквивалентно системе трех скалярных уравнений второго порядка, а система (В.З) эквивалентна системе шести скалярных уравнений первого порядка.
Наконец, можно одно векторное уравнение (В.2) второго порядка в трехмерном пространстве заменить одним векторным уравнением первого порядка в шестимерном пространстве, координатами в котором служат координаты гх, гу, гг радиуса-вектора г P) и координаты vx, Vy, vz вектора-скорости v. Такое пространство физики называют фазовым. Радиус-вектор RP) в этом пространстве имеет координаты (rx, ry, rz, vx, vy, vz). В таких обозначениях система (В.З) имеет вид:
ґіХ)
-^f-= Ф С RW) (В.4)
(проекциями вектора Ф в шестимерном пространстве служат соответствующие проекции правых частей системы (В.З) в трехмерном пространстве).
При такой интерпретации начальные условия (B.2j) и (В.22) заменяются условием
RPo) = Ro- (ВЛ)
Решением уравнения (В.4) R = R(^) будет фазовая траектория, каждой точке которой будет соответствовать некоторое мгновенное состояние движущейся точки — ее положение г P) и ее скорость V (t).
Если к уравнению (В.4) с начальным условием (В.4г) применить изложенный выше приближенный метод, то на первом отрезке [^0. ^1] вектор-функцию Фр, R(O) надо считать постоянной и равной ФРо> R^o))- Итак, при fa< f<f0 +А
4?=Ф(*0. Я(*о)).
откуда, умножая на dt и интегрируя в пределах от tQ до t, получим линейную вектор-функцию RP):
R P) = R (t0) + Ф (t0- R (to)) P -10)-
В частности, при t = tx будем иметь
R(*,) = R(fo) + A«(*o. RPo))-
Повторяя то же рассуждение на следующих участках, получим
RP2) = R Pi) H-АФ Pi. Rp1)),
R Ps) = R Pa- i) H- АФ P^1,' R (**_,)),
Применяя эти формулы п раз, дойдем до значения R(T).
ВВЕДЕНИЕ
13
В этом Методе искомое решение R (0 приближенно заменяется кусочно линейной вектор-функцией, графиком которой служит некоторая ломаная, называемая ломаной Эйлера.
Для уравнения (В.2) нередко в приложениях встречается и иная постановка задачи — дополнительные условия задаются не в одной, а в двух точках. Такая задача, в отличие от задачи с условиями (B.2j) и (В.22), называемой задачей с начальными условиями или задачей Коши, носит название краевой или граничной.
Пусть, например, требуется, чтобы материальная точка массы т, движущаяся под действием силы F ((, г (^), г (t)), находившаяся в начальный момент t = t0 в положении г = г0, попала бы в момент ( = (х в положение г = T1, т. е. надо решить уравнение (В.2) с граничными условиями г (Z0) = г0, г (^1) = г і- К этой граничной задаче сводятся многие баллистические задачи, причем очевидно, что решение здесь часто может быть не единственным, так как из точки г (tQ) = г0 можно попасть в точку г (tx) ^=T1 по настильной и по навесной траекториям.
