Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Эльсгольц Л.Э. -> "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление " -> 11

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление — Наука, 1969. — 425 c.
Скачать (прямая ссылка): differencialnie-urovneniya.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 131 >> Следующая


Ui, Уі)

Чаще всего в качестве пути интегрирования удобно брать ломаную, составленную из двух звеньев, параллельных осям координат (рис. 1.10); в этом случае

[X, У) IX, Уо) (JT1 у)

f Mdx + Ndy= J Mdx+ f Ndy

(х-,, у. (*,,Уі) іх, Уо)

34 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I

ИЛИ

\Х. vi кх,, у> ,х, у)

J* Mdx+Ndy = f Ndy + f Mdx.

(.Х„, Уо) (JT01 Уо) (Xfi, у)

Пример 1.

(x+y+l)dx + (x — у2+ 3) dy = 0.

Левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции и (х, у), так как

djx+y + 1) _ d(x-y2 + 3) ду дх '

du X2

¦0Х-==х + У+1> " = Т" + ху + Х+ °

ou

— = х + с'(У), х + с'(у) = х — у2 4-3, с'(у) = -у2 + з, с(у) = -^- + Зу 4-е,, « = -?- + ху 4- X — -^- 4- зу 4- с,.

Следовательно, общий интеграл имеет вид

Зх2 + 6ху+6х—2у3+18у = с2. (1.17)

Можно применить и другой метод определения функции и (х, у): (JT1 У)

»(•*. У)= J (х + у+l)dx + (x — y2 + 3)rfy.

U„ Уо)

За начальную точку (х0, у0) выбираем, например, начало координат, в качестве пути интегрирования — изображенную на рис. 1.11 ломаную. Тогда

(Jr, 0) (х, у) ¦

и(х, у)= J (*+I)A*+ f (x-y2 + 3)dy =^ + х + ху-І + Зу

(0,0) ' (jr, 0)

и общий интеграл имеет вид

^-+х + ху—-^--\-Зу = е

или как в (1. 17).

В некоторых случаях, когда левая часть уравнения

М(х, y)dx + N(x, y)dy = 0 (1.14)

не является полным дифференциалом, легко удается подобрать функцию ц.(х, у), после умножения на которую левая часть уравнения (1.14) превращается в полный дифференциал

du = ixM dx 4- ixN dy.

УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

35

Такая функция и называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (х(а:, у) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль.

Пример 2.

X dx + у dy + (х2 + у2) X2 dx = 0.

1

Очевидно, что после умножения на множитель ц = •

— левая часть нре-

' X2 + у2

вращается в полный дифференциал. Действительно, после умножения на

' X2 + у

2 получим

X dx -)- у dy X2 Л-у2

¦ x2dx = 0

1

или, интегрируя, 2"In(X2-4-у2) + -g- = InC1. Умножая на 2 и потенцируя, будем иметь

2 , ,3 х

¦¦ С.

(х2 + у2)ес

Конечно, далеко не всегда интегрирующий множитель подбирается столь легко. В общем случае для нахождения интегрирующего множителя надо подобрать хотя бы одно не равное тождественно нулю частное ре- уi шение уравнения в частных производных

дцМ _ d\xN

ду ~~ дх '

или в развернутом виде

ф . дМ да ., . dN

о

/А OJ Рис. 1.11.

которое после деления на [X и переноса

некоторых членов в другую часть равенства приводится к

д In ц

ду

M-

д In |х дх

N =

dN дх

дМ

ду •

виду (1.18)

В общем случае интегрирование этого уравнения в частных производных является задачей отнюдь не более простой, чем интегрирование исходного уравнения, однако в некоторых случаях подбор частного решения уравнения (1.18) не представляет затруднений.

Кроме того, считая, что интегрирующий множитель является функцией только одного аргумента (например, является функцией только х-\-у или только х2-\-у2, или функцией только х, или только у и т. д.), можно уже без труда проинтегрировать уравнение (1.18) и

36

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. !

указать условия, при которых интегрирующий множитель рассматриваемого вида существует. Тем самым выделяются классы уравнений, для которых интегрирующий множитель легко может быть найден.

Например, найдем условия, при которых уравнение M dx~\-N dy=0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х, [X = р.(х). При этом уравнение (1.18) упрощается и приобретает вид

_ d In [X д,_ dN _ дМ

dx dx ду '

dM dN

откуда, считая ——^ ^х непрерывной функцией х, получим

дМ dN

In p. = j" ^ ^x _|_ Jn ^

дМ dN

/ду дх г — „„ N dx. (1.19)

Можно считать с=1, так как достаточно иметь лишь один интегрирующий множитель. дМ dN

^ ду дх ,

Если —-—Jj- является функцией только х, то интегрирующий

множитель, зависящий лишь от х, существует и равен (1.19), в противном случае интегрирующего множителя вида (х(х) не существует.

Условие существования интегрирующего множителя, зависящего только от х, выполнено например, для линейного уравнения

dy

-JZ + P (х) у = / (х) или Ip (X) y—f (X)] dx + dy = 0. дМ dN

ду дх г

Действительно, ——Jj-= р (х) и, следовательно, \i = е> pix)dx.

Совершенно аналогично могут быть найдены условия существования интегрирующих множителей вида

ц (у), [X(X ± у), ц.(х2±у2), LX (х- у), [X^j и т. д.

Пример 3. Имеет ли уравнение

X rfx-f у dy -|-х dy — у dx =-0 (1.20)

интегрирующий множитель вида [х = ц. (х2 -)- у2)?

Обозначим X2 -|- у2 = г. Уравнение (1.18) при ц = ц (х2 -f- у2) = ц (г) принимает вид

2(My-Nx)-^ = -lx—w,

§ 51 УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 37
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed