Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
30 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 1
I = е
dt
о
При постоянном напряжении U = U0 получим
/о + т J U{t)e
(1.12)
R +Р R)
Интересен случай синусоидального переменного напряжения U = A sin tat. При этом согласно (1.12) получим
t
1:
\ - ' L
О
Стоящий в правой части интеграл легко вычисляется.
Rf ^R \
'=е 1 I I0 +^f eL 'slnatdt. J
Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть сведены к линейным. Например, уравнение Бернулли, имеющее вид
dy
или
dx+P(x)y = f(x)yn. пФ\,
Iu+P W у1"" = /<*>¦ <1ЛЗ>
заменой переменных yl~n = z сводится к линейному уравнению. Действительно, дифференцируя у1-" =z, находим (1—п) у" ^ = и, подставляя в (1.13), получим линейное уравнение
Подставляя в исходное уравнение, получим
с' (х) sin X + с (х) cos X — с(х) cos х = 2х sin х, с'(х) = 2х, с (х) = X2+ си у = X2 sin X + с, sin х.
Пример 3. В электрической цепи с самоиндукцией происходит процесс установления переменного тока. Напряжение U является заданной функцией времени U = U (t), сопротивление R и самоиндукция L постоянны, начальная сила тока / (0) = I0 задана. Найти зависимость силы тока I= I (t) от времени.
Пользуясь законом Ома для цепи с самоиндукцией, получим
U-L«L = R1.
Решение этого линейного уравнения, удовлетворяющее начальному условию /(0)=/0, согласно (1.11) имеет вид
§4) ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 31
П р и м е р 4.
<*У_ — У і х'г dx 2х "г" 2у '
п dy У2 , , , п dy dz
dx X ' и далее, как в примере 1 стр. 29.
Уравнение
-g+ р (X) у + «7 (X) f = f(x),
называемое уравнением Риккаши, в общем виде не интегрируется в квадратурах, но может быть заменой переменных преобразовано в уравнение Бернулли, если известно одно частное решение ^1(X) этого уравнения. Действительно, полагая у = -f- г, получим
yl+z' + p (X) (у, + Z) + q (X) (ух + zf = f (х)
или, так как y'x-\-p(x)yl-\-q(x)y\ = f(x), будем иметь уравнение Бернулли
z' -I- Ip (X) + 2<7 (X) yj z + q (X) z2 = 0. Пример 5.
-2..
dx у X2
В этом Примере нетрудно подобрать частное решение у, = 1. Полагая У = * + —, получим у' = г' ——, * __ == J*+_j или
z' = zd -)- 2 -^- — уравнение Бернулли.
г2 хг ~* ' U z' dx
du _ 2и _j du___ 2rfx
dx X и X '
In I и I = — 2 In |x| + ln с, и = ргі и = С W , —^ = -1, с(х) = --g-H-с,
3' г"~х2 3 ' 1_х2 3 *
Cj _ X J___Cj X 1___Cj___Х_
У
1 , Зх2
У-X
У = '
32 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ. T
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах
Может случиться, что левая часть дифференциального уравнения М(х, y)dx + N(x, y)dy = 0 (1.14)
является полным дифференциалом некоторой функции и(х, у):
du (х, у) = M (х, у) dx -j- N (х, у) dy и, следовательно, уравнение (1.14) принимает вид
du (х, у) = 0.
Если функция у(х) является решением уравнения (1.14), то
du (х, у (х) )==0,
и, следовательно,
и(х, у(х)) = с, (1.15)
где с — постоянная, и наоборот, если некоторая функция у (л:) обращает в тождество конечное уравнение (1.15), то, дифференцируя полученное тождество, получим du (х, у(х)) = 0, и следовательно, и (х, у) = с, где с произвольная постоянная, является общим интегралом исходного уравнения.
Если даны начальные значения у (х0) = у0, то постоянная с определяется из (1.15) c = u(xQ, у0) и
и(х, у) = и(х0. Уо) (1•1S1)
является искомым частным интегралом. Если = N (х, у) ф 0
в точке (д;0, у0), то уравнение (1.101) определяет у как неявную функцию х.
Для того чтобы левая часть уравнения (1.14)
М(х, y)dx 4- N(x, y)dy
являлась полным дифференциалом некоторой функции и(х, у), как известно, необходимо и достаточно, чтобы
дМ(х, у) oN(x, у) 1б
ду дх к '
Если это условие, впервые указанное Эйлером, выполнено, то уравнение (1.14) легко интегрируется. Действительно,
du — Mdx 4- N dy.
С другой стороны,
du=*-dx-dx+-§jdy-
« 51 УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 33
Следовательно,
~ = М(х, у); = N(x, у),
откуда
и (х,у) = J* M (х, y)rfx-f-c(y).
При вычислении интеграла j М(х, y)dx величина у рассматривается как постоянная, поэтому с (у) является произвольной функцией у.
(х у)
У,
\ (X0,у) (x.yj
с
с
і-о
о-1
>
і
(Zo.&J (х.у0/
о
—
О
Рис. 1.10.
Для определения функции с (у) дифференцируем найденную функцию и(х, у) по у и, так как — N (х, у), получим
(/ М(х, у) dx) + с' (у) = N(x, у).
Из этого уравнения определяем с' (у) и, интегрируя, находим с Су).
Как известно из курса математического анализа, еще проще можно определить функцию и(х, у) по ее полному дифференциалу du —М(х, y)dx-\-N(x, y)dy, взяв криволинейный интеграл от M (х, y)dx-\-N (х, у) dy между некоторой фиксированной точкой (хо> Уо) и точкой с переменными координатами (л:, у) по любому пути:
у)
и(х, у)= j М(х, y)dx-\-N(x, y)dy.
