Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Для построения поля направлений найдем геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. Уравнение изоклин получим, считая ~^~^< где * — постоянная; Ух2 -J- у2 =k или x2-\-y2 — k2.
Следовательно, в данном случае изоклинами являются окружности с центром в начале координат, причем угловой коэффициент касательной к искомым
Рис. 1.4.
интегральным кривым равен радиусу этих окружностей. Для построения поля направлений дадим постоянной k некоторые определенные значения (см. рис. 1.4 слева). Теперь можно уже приближенно провести искомые интегральные кривые (см. рис. 1.4 справа). Пример 4.
у' = 1 + ху.
Изоклинами являются гиперболы k = ху -J- 1 или ху — k — 1, причем при k = 1 гипербола распадается на пару прямых х — 0 и у = 0 (рис. 1.5). При ? = О получаем изоклину 1 -J- ху = 0; эта гипербола разбивает плоскость на части, в каждой из которых у' сохраняет постоянный знак (рис. 1.6). Интегральные кривые у = у (х), пересекая гиперболу 1 -(- лгу = 0. переходят из области возрастания функции у (х) в области ее убывания или, наоборот,
2 Л, Э. Эльсгольц
18 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
из области убывания в область возрастания, и следовательно, на ветвях этой гиперболы расположены точки максимума и минимума интегральных кривых.
Рис. 1.5. Рис. 1.6.
Определим теперь знаки второй производной в различных областях плоскости:
у" = ху' + у или у" = х(1 + ху)-{-у = х + (х2Ц-1)у. Кривая X -f- (х2 -f-1) у = 0 или
» —ТТздг 0-1)
(рис. 1.7) разбивает плоскость на две части, в одной из которых у" < 0, и следовательно, интегральные кривые выпуклы вверх, а в другой у" > 0, и значит, интегральные кривые вогнуты вверх. При переходе через кривую (1.1). интегральные кривые переходят от выпуклости к вогнутости, и следовательно, на этой кривой расположены точки перегиба интегральных кривых.
В результате проведенного исследования известны области возрастания и
Рис. 1.7.
Рис. 1.8.
убывания интегральных кривых, известно расположение точек максимума^ и минимума, известны области выпуклости и вогнутости и расположение точек перегиба, известна изоклина A=I. Этих сведений вполне достаточно для того, чтобы сделать набросок расположения интегральных кривых
§ 21 УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 19
J/20» dy = Jfx (X) dx -f с. (1.5)
где с — произвольная постоянная.
Мы получили конечное уравнение (1.5), которому удовлетворяют все решения уравнения (1.4), причем каждое решение уравнения (1.5)
(рис. 1.8), но можно было бы вычертить еще несколько изоклин, что позволило бы уточнить расположение интегральных кривых.
Во многих задачах, в частности почти во всех задачах геометрического характера, переменные х и у совершенно равноправны. Поэтому в таких задачах, если они сводятся к решению дифференциального уравнения
|г = /(*. У)- (1.2)
естественно наряду с уравнением (1.2) рассматривать также уравнение
dx 1
'dy^ f(x. у) " (КЗ)
i
Если оба эти уравнения имеют смысл, то они эквивалентны, так как если функция у — у(х) является решением уравнения (1.2), то обратная функция х = х(у) является решением уравнения (1.3), и следовательно, уравнения (1.2) и (1.3) имеют общие интегральные кривые.
Если же в некоторых точках одно из уравнений (1.2) или (1.3) теряет смысл, то в таких точках естественно его заменять другим из этих уравнений.
dy у
Например, уравнение ¦^r = теряет смысл при х=0. Заменив dx X
его уравнением -^y-= — , правая часть которого уже не теряет
смысла при х = 0, находим в дополнение к ранее найденным решениям у = сх (см. стр. 16) еще одну интегральную кривую X = O этого уравнения.
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения вида
/2 (У) dy = /1 (х) dx (1.4)
называются уравнениями с разделенными переменными. Функции /, (х) и /2 (у) будем считать непрерывными.
Предположим, что у (х) является решением этого уравнения, тогда при подстановке у(х) в уравнение (1.4) получим тождество, интегрируя которое, будем иметь:
20
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
является решением уравнения (1.4), так как если некоторая функция у(х) при подстановке обращает уравнение (1.5) в тождество, то, дифференцируя это тождество, обнаружим, что у(х) удовлетворяет и уравнению (1.4).
Конечное уравнение Ф(х, у) = 0, которое определяет решение у (х) дифференциального уравнения как неявную функцию х, называется интегралом рассматриваемого дифференциального уравнения.
Если это конечное уравнение определяет все без исключения решения данного дифференциального уравнения, то оно называется общим интегралом рассматриваемого дифференциального уравнения. Следовательно, уравнение (1.5) является общим интегралом уравнения (1.4). Для того чтобы уравнение (1.5) определяло у как неявную функцию х, достаточно потребовать, чтобы /2 (у) Ф 0.
Вполне возможно, что в некоторых задачах неопределенные
