Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
40 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 'ГЛ. i
Для вычисления у, заменяем' на отрезке X0^. X^x1 искомую интегральную кривую отрезком ее касательной в точке (х0, у0). Следовательно, у,=у04-Ау0. где y0=f(xQ, у0) (см. рис. 1.13).
Аналогично вычисляем:
У2 = У і + кУ'\' где y\ = f{xv Ух)'' у3=у2+/гу;, где у^ =/(х2, у2);
Уп^Уп-1 + кУ'п-1' где d = /K-i. Уя_1>
Если b < х0, то схема вычислений остается прежней, но шаг h отрицателен.
Естественно ожидать, что при А->0 ломаные Эйлера приближаются к графику искомой интегральной кривой, и следовательно, с уменьшением шага h метол Эйлера дает все более и более точное значение искомого решения в точке Ь. Доказательство этого утверждения одновременно приведет нас к следующей фундаментальной теореме о существовании и единственности решения уравнения •^ = /(х, у)
с начальным условием у(х0) = у0 при весьма общих достаточных условиях, наложенных на функцию /(х, у).
Теорема 1.1 (о существовании и единственности решения). Если в уравнении
U = Z(X у) (1.22)
функция fix, у) непрерывна в прямоугольнике D:
X0 — а < X < Xn 4-а, у0 — ?<у <у04"*. и удовлетворяет в D условию Липшица:
1/С*. Уі) —/(*. Уа)КW|у, — у21.
где N — постоянная, то существует единственное решение у = у(х), X0 — H<]х ^x04-Н, уравнения (1.22), удовлетворяющее условию у(х0) = у0, где
Я< min (а, ±, Ir), M = max / (х, у) в D.
Условия теоремы нуждаются в некоторых пояснениях. Нельзя утверждать, что искомое решение у = у(х) уравнения (1.22), удовлетворяющее условию у (X0) = у0, будет существовать при Jf0 — a ^ ^ x X0 4- «. так как интегральная кривая у = у (х) может выйти
теоремы существования и единственности
41
из прямоугольника D через его верхнюю или нижнюю стороны у == у0 ± b (рис. 1.14) при некотором значении х = X1, X0 — а < лг, < < X0 + а, и тогда, если JC1 > х„, при х > X1 решение уже может быть не определено (если X1 < х0, то решение может быть не определено при X < X1). Можно гарантировать, что интегральная кривая у = у (дг) не выйдет за пределы области D при х, изменяющемся на
О Щр @ 3?g Sq X) J?, + Q
Рис. 1.14.
О х0-а x0-h X0 X0^h х,х0+а Рис. 1.15.
отрезке JC0 — H ^ JC ^ X0+ Я, где H — наименьшее из двух чисел а,
-jfj (рис. 1.15), так как угловой коэффициент касательной к искомой
интегральной кривой заключен между угловыми коэффициентами M и —M прямых, изображенных на рис. 1.15. Если эти прямые, между которыми заключена искомая интегральная кривая, выходят за пределы прямоугольника D через его горизонтальные стороны у = у0 ± Ь,
b
то абсциссы точек пересечения этих сторон будут X0 ±
M '
следо-
вательно, абсцисса точки выхода интегральной кривой из прямо-угольника D может быть лишь меньше или равна X0 -j- -^ и больше Ь
или равна X0— ^j-.
Можно доказать существование искомого решения на отрезке X0 — H <! X <; X0 -)- Н, где H = min [a, -^fJt однако проще вначале доказать существование решения на отрезке х0 — H ^x ^ X0 -f- Н, где H < min la, -A-, -тг). а в дальнейшем будут указаны условия,
M ' N1
при выполнении которых решение может быть продолжено. Условие Липшица
|/(х, уО~/(х, y2)\<N\yi~y2\
42 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. [
Jy- j ^ Л/ является более гру-
существует, следовательно, условие
бым, чем условие Липшица.
Доказательство теоремы существования и единственности. Заменим дифференциальное уравнение
U = ZU- У) (1.22)
с начальным условием
У(х0) = У0 (1-23)
эквивалентным интегральным уравнением
X
У = Уо-\- f f(x< У)ах. (1.24)
Xi
Действительно, если некоторая функция у = у(х) при подстановке обращает в тождество уравнение (1.22) и удовлетворяет условию (1.23), то, интегрируя тождество (1.22) и принимая во внимание условие (1.23), получим, что у = у(х) обращает в тождество и уравнение (1.24). Если же некоторая функция у = у (х) при подстановке обращает уравнение (1.24) в тождество, то она, очевидно, удовлетворяет и условию (1.23), а дифференцируя тождество (1-24), получим, что у = у (х) обращает в тождество и уравнение (1.22).
Строим ломаную Эйлера у = уп (х), исходящую из точки (х0, у0)
с шагом hn = — на отрезке X0^ X^x0-)-Я, п — целое положи-
может быть заменено несколько более грубым, но зато обычно легко проверяемым условием существования ограниченной по модулю частной производной f (х, у) в области D. Действительно, если в прямоугольнике D
\/'у(х. y)\<N, то, пользуясь теоремой о конечном приращении, получим
!/(*¦ Уі)—/(*• у*)I =/і—у2|-
где І — промежуточное между у1 и у2 значение. Следовательно, точка (х, І) лежит в D1 поэтому
\/'у(х. |)|<Л/ и |/(х, У!)-/(х, .V2)KAZIy1 -у2|.
Нетрудно привести примеры функций / (х, у) (например, f іх' У) = \У\ в окрестности точек (х, O)), для которых условие
Липшица выполнено, но производная 4^- в некоторых точках не
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
43
тельное число (совершенно аналогично доказывается существование решения на отрезке X0 — H х ^ х0). Ломаная Эйлера, проходящая через точку (х0, у0), не может выйти из области D при X0 ^ х ^ <; X0 + H (или X0 — H < X < х0), так как угловые коэффициенты каждого звена ломаной по модулю меньше М.
